[게임 수학] #7 행렬(2)

행렬과 벡터의 변환

위와 같은 표준기저벡터 $e_1(1,0), e_2(0,1)$가 있다.

이 공간의 벡터 $\overrightarrow{v} = (x,y)$는 표준기저벡터의 결합이다.
$\overrightarrow{v} = (x,y) = x*(1,0)+y*(0,1)$

변환에 의해 아래의 새 벡터 $e_1'(a,c), e_2'(b,d)$가 생성된다고 가정하자. 이 공간에서도 똑같이 벡터 $\overrightarrow{w}$는 다음과 같다.

$\overrightarrow{v} = x*(a,c)+y*(b,d) = (ax+by, cx+dy)$

이 식은 다음 행렬의 곱과 같다.

$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x\\y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\\\end{bmatrix}$

$a,b,c,d$로 이루어진 2x2 정방행렬에 벡터 $\overrightarrow{v}$를 곱한 것이다. $(a,c)$와 $(b,d)$는 2x2정방행렬의 열벡터이다.

크기 변환행렬

물체의 크기를 변환하는 행렬로, 벡터 공간의 각 표준기저벡터를 특정 크기만큼 바꾼다.

표준기저벡터 $e_1(1,0), e_2(0,1)$가 있을 때를 예로 들어보자.
$e_1$를 $a$배로 변환하는 경우 $a*(1,0)=(a,0)$
$e_2$를 $b$배로 변환하는 경우 $b*(0.1)=(0,b)$

$e_1,e_2$를 각각 $a, b$배로 변환한 표준기저벡터 $(a,0), (0,b)$를 열벡터로 설정해 만들어낸 크기 변환행렬은

$\begin{bmatrix}a&0\\0&b\\ \end{bmatrix}$ 와 같다.

회전 변환행렬

특정한 각도 $\theta$ 만큼 물체를 회전시키는 행렬이다.

먼저 표준기저벡터 $e_1, e_2$를 $90^{\circ}$와 $-90^{\circ}$ 변환하는 벡터를 구하자.
$e_1$를 $90^{\circ}$로 회전하는 경우 $(0,1)$
$e_2$를 $90^{\circ}$로 회전하는 경우 $(-1,0)$

$90^{\circ}$ 회전 변환행렬은 $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\ \end{bmatrix}$이다.

$e_1$를 $-90^{\circ}$로 회전하는 경우 $(0,-1)$
$e_2$를 $-90^{\circ}$로 회전하는 경우 $(1,0)$

$-90^{\circ}$ 회전 변환행렬은 $\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\\ \end{bmatrix}$이다.

이를 보다 일반화하여 특정한 각도 $\theta$만큼 회전한 경우를 가정해보자.
$e_1$를 $\theta$만큼 회전하는 경우 $(cos\theta,sin\theta)$
$e_2$를 $\theta$만큼 회전하는 경우 $(-sin\theta,cos\theta)$

$\theta$ 회전 변환행렬은 $\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}$이다.

전단 변환행렬

전단 변환이란 특정 축을 고정하고 다른 축을 밀어 대각선으로 이동시키는 것을 의미한다. $e_1$를 고정시키고, $e_2$를 $a$만큼 민다면

$e_1$는 고정이므로 그대로 $(1,0)$
$e_2$는 $(a,1)$이 된다.

따라서 $e_1$를 고정시키고, $e_2$를 $a$만큼 민 전단 변환행렬은 $\begin{bmatrix}1&a\\0&1\\ \end{bmatrix}$이다.

역행렬

행렬도 함수의 성질을 지니며, 덕분에 각각 항등함수와 역함수에 대응되는 항등행렬과 역행렬이 존재한다.

항등행렬

원래 기존의 벡터공간을 변화없이 동일하게 변환하는 행렬이다.
항등행렬을 적용해 변환한 행렬은 표준기저벡터 $e_1(1,0), e_2(0,1)$가 그대로 유지된다. 따라서 $I$로 표시되는 항등행렬은 다음과 같다.

$I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\ \end{bmatrix}$

역행렬

그렇다면 반대로 역행렬은 어떠한 행렬과의 곱셈이 항등행렬이 나오는 특수한 행렬이다. 임의의 행렬을 $A$라고 할 때, 이의 역행렬$A^{-1}$과의 곱 $A*A^{-1}=I$이다.

행렬식

어떤 특정한 행렬이 역행렬을 갖는지 알아낼 수 있는 특수한 식이다.
함수가 역함수를 가지려면, 그 함수는 전단사함수여야 한다. 마찬가지로 행렬이 역행렬이 존재하려면 두 공간의 변환이 전단사로 대응되어야 한다.

어떤 행렬 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\ \end{bmatrix}$의 행렬식 $det(A)$는 아래와 같다.
$det(A) = ad - bc$

만일,$det(A)$가 0이 된다면 해당 변환은 전단사 대응이 성립하지 않아 역행렬이 존재하지 않는다고 말한다.

크기 변환행렬의 역행렬

$S=\begin{bmatrix}a&0\\0&b\\ \end{bmatrix}, S^{-1} = \begin{bmatrix}1/a&0\\0&1/b\\ \end{bmatrix}$

회전 변환행렬의 역행렬

$S=\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}, S^{-1}=\begin{bmatrix}cos\theta&sin\theta\\-sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}$

전단 변환행렬의 역행렬

$S=\begin{bmatrix}1&a\\0&1\\ \end{bmatrix}, S^{-1} = \begin{bmatrix}1&-a\\0&1\\ \end{bmatrix}$

행렬 곱의 역행렬

합성함수에서의 $(g$ ∘ $f)^{-1}=f^{-1}$ ∘ $g^{-1}$ 규칙이 있었다.

마찬가지로 행렬의 곱도 같은 규칙이 존재한다.
$(A*B)^{-1}=B^{-1}*A^{-1}$