0. 학습목표

• 이항 분포 (Binomial Distribution)에 대해 설명할 수 있다.
• 조건부 확률 (Conditional Probability)에 대해 설명할 수 있다.
• 베이지안 이론 (Bayesian Theorem)에 대해 설명할 수 있다.

1. 주요개념

1. 전체 확률의 법칙

사건에 의해 발생한 모든 잠재적 결과들이 나올 확률의 합은 1이다.

2. 이항분포

이항분포란 독립적으로 반복되어지는 행위에 의해서 실패또는 성공과 같이 두 가지 옵션을 가지는 사건의 확률을 결정하는 함수를 의미한다.

다른 말로는 연속된 n번의 독립적 시행에서 각 시행이 확률 p를 가질 때의 이산 확률 분포를 의미한다.
n=1일 때 이항 분포를 베르누이 분포라고 하기도 한다.

👉 확률 질량 함수: $\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix}\times p^k \times (1-p)^{(1-k)}$
👉 이항계수 : $\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix} = {n!\over k!(n-k)!}$

3. 조건부 확률

일상적인 상황에서 사건들은 독립적이지 않고 서로 연관되어 있다. 조건부 확률이란 어떠한 사건의 결과에 의해 영향을 받는 한 사건의 결과에 대한 확률을 말한다.

즉, 정리하면 어떤 사건이 일어나는 경우에 다른 사건이 일어날 확률을 말한다.
"사건 B가 일어나는 경우에 사건 A가 일어날 확률"을 "사건B에 대한 A의 조건부 확률"이라 하며 표기법은 다음과 같다.

👉 조건부확률: $P(A|B) = {P(A\cap B) \over P(B)} = {{n(A\cap B) \over n(S)} \over {n(B) \over n(S)}} = {n(A\cap B) \over n(B)}$

4. Bayesian Theorem(베이지안 정리)

확률론과 통계학에서 베이즈 정리(Bayes’ theorem)는 두 확률 변수의 사전 확률과 사후 확률 사이의 관계를 나타내는 정리다. 베이즈 확률론 해석에 따르면 베이즈 정리는 사전확률로부터 사후확률을 구할 수 있다.

베이즈 정리는 불확실성 하에서 의사결정문제를 수학적으로 다룰 때 중요하게 이용된다. 특히, 정보와 같이 눈에 보이지 않는 무형자산이 지닌 가치를 계산할 때 유용하게 사용된다. 전통적인 확률이 연역적 추론에 기반을 두고 있다면 베이즈 정리는 확률임에도 귀납적, 경험적인 추론을 사용한다.

베이지안 정리는 조건부확률이라고도 하는데 다음과 같은 특장점을 가진다.

• 확률을 상황에 따라 변할 수 있는 것이라 생각한다. 이는 기존의 개념과 다른 것으로 추가되는 새로운 증거에 따라 확률을 새로 계산 및 개선한다.
  
  
• "이전의 경험과 현재의 증거를 토대로 어떤 사건의 확률을 추론한다."즉, 사전 정보를 바탕으로 어떤 사건이 일어날 확률을 토대로 의사결정을 할 때 활용된다.
  
  
• 다시 말해, 우리의 관심이 되는 확률을 알기 어려울 때 알고 있는 것을 바탕으로 거꾸로 계산하여 답을 찾는다.
  

4-1. 사전확률

아무정보 없이 가정한 확률이다. 정말 아무 정보가 없는 상황에서는 확률을 동등하게 생각하여 0.5로 가정한다. 이는 이유 불충분의 원리에 따른 것이다.

4-2. 사후 확률

사전 확률을 바탕으로 새롭게 얻은 정보를 이용하여 수정한 확률이다. 베이지안 정리는 이렇게 계산된 사후확률을 다시 사전확률로 이용하면서 갱신과정을 거친다. 이를 무수히 반복하면서 값의 신뢰성을 확보한다.

❗ 유도과정:
$P(A|B)={P(A\cap B)\over P(B)}→ P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$
$P(B|A)={P(A\cap B)\over P(A)}→P(A\cap B)=P(B|A)P(A)$
$P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$

👉 $P(A|B)={P(B|A)P(A)\over P(B)}$

2. 회고

이번 시간에 따로 새롭게 배운 명령어는 없지만, 확률을 다루던 시간이라서 머리가 아팠다. 수학 중에 확률이 제일 별로다...너무 어렵다. 나름 수능 수학 1등급러인데 하여튼 데이터분석을 위한 통계라는 소위 꽃게책이 오늘 왔다. 이거 보면서 공부를 좀 해야겠다.

하 확률....차라리 미적분 방정식을 풀고 싶다.