1. 일차방정식의 해

가장 간단한 형태의 일차방정식 $ax=b$

• $a$ : 계수(coefficient)
• $b$ : 상수(constant)
• $x$ : 미지수(unknown)

임의의 수 $s$가 $as=b$ 를 만족할 때, $s$는 일차방정식의 해(solution)

(1) $a=0, b=0$ 인 경우

$0x=0$ 이 되어 $x$에 어떤 값을 넣어도 해가 된다(무한개의 해를 가짐).
⇒ 부정인 해(infinite soution)

(2) $a=0, b≠0$ 인 경우

$0x=b(b≠0)$ 가 되어 어떤 $x$도 해가 될 수 없다.
⇒ 불능인 해(no solution)

(3) $a≠0$ 인 경우

$a$가 0이 아니기 때문에 $a$의 곱셉에 관한 역원 $a^{-1}$이 존재하므로, 이를 양변에 곱하면
$a^{-1}ax=a^{-1}b$ 이 되어 $x=a^{-1}b$ 가 된다.
⇒ 유일한 해(unique solution)

2. n원 일차연립방정식

미지수가 n개인 일차방정식 m개를 묶어 놓은 것

$\begin{cases} a_{11}x_1 \;+ a_{12}x_2 \,+ \cdots + a_{1n}x_n \;= b_1\\ a_{21}x_1 \;+ a_{22}x_2 \,+ \cdots + a_{2n}x_n \;= b_2\\ \quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases}$

연립방정식의 해는 $x_1=s_1, x_2=s_2,\cdots, x_n=s_n$ 을 대입하여 만족하는 순서열 $(s_1, s_2,\cdots, s_n)$

1 : 부정인 해
2 : 불능인 해
3 : 유일한 해

3. 소거법

일차연립방정식을 푸는 가장 간단한 방법
세 가지 기본연산을 이용해 연립방정식을 풀기 쉬운 형태로 변환, 한 방정식의 특정 미지수를 없앰
① 두 방정식을 교환
② 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱함
③ 한 방정식에 임의의 상수를 곱한 후 다른 방정식에 더함

⇒ 소거법을 반복하여 어떤 방정식이 하나의 미지수만 갖게 됐을 때, 구한 미지수값을 다른 방정식에 대입하여 나머지 미지수값을 얻는 후진대입(back substitution)을 사용

📖 2원 일차연립방정식의 해를 소거법으로 구하기
$\begin{cases} \,\,\,x+ \,\,\,y=2\\ 5x-2y=3 \end{cases}$

✏️ 풀이
첫번째 방정식과 두번째 방정식을 교환(①)
$\begin{cases} 5x-2y=3\\ \,\,\,x+ \,\,\,y=2\\ \end{cases}$

두번째 방정식에 2를 곱한 후 첫번째 방정식에 더함(③)
$\begin{cases} 7x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=7\\ \,\,\,x+ \,\,\,y=2 \end{cases}$

첫번째 방정식에 $1 \over 7$ 을 곱함(②)
$\begin{cases} \,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=1\\ \,\,\,x+ \,\,\,y=2 \end{cases}$

두번째 방정식의 미지수 $x$에 1을 대입해서 $y$값 구함(후진대입)
$\begin{cases} \,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=1\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y=1 \end{cases}$

▷ 손진곤·강태원, 『선형대수』, 한국방송통신대학교출판문화원, 2015