1. 행렬과 일차연립방정식

$m \times n$ 행렬(matrix)은 원소(element)들을 m개의 행(row)과 n개의 열(coulumn)로 구성된 직사각형 형태로 배열한 것
$i(1\leq i\leq m), \; j(1\leq j\leq n)$ 일 때, $i$ 번째 행 $j$ 번째 열에 있는 원소를 $a_{ij}$ 라고 칭함

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$\begin{cases} a_{11}x_1 \;+ a_{12}x_2 \,+ \cdots + a_{1n}x_n \;= b_1\\ a_{21}x_1 \;+ a_{22}x_2 \,+ \cdots + a_{2n}x_n \;= b_2\\ \quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$

위 n원 일차연립방정식을 행렬방정식 $AX=B$ 로 표현 가능(A : 계수행렬, X : 미지수행렬, B : 상수행렬)


$\begin{pmatrix} a_{11} \;& a_{12} \,& \cdots & a_{1n}\\ a_{21} \;& a_{22} \,& \cdots & a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}$

계수행렬과 상수행렬을 합쳐서 확대행렬 C로 표현

$C=(A∣B)= \begin{pmatrix} a_{11} \;& a_{12} \,& \cdots & a_{1n}&⎟&b_1\\ a_{21} \;& a_{22} \,& \cdots & a_{2n}&⎟&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&⎟&\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}&⎟&b_m \end{pmatrix}$

2. 기본행연산

확대행렬에 대한 기본연산 3가지를 뜻함

① $i$번째 행과 $j$번째 행을 교환 → 기호 $R_{i,j}$
② $i$번째 행에 0이 아닌 상수 $c$를 곱함 → 기호 $R_{i(c)}$
③ $i$번째 행에 상수 $c$ 를 곱하여 $j$번째 행에 더함 → 기호 $R_{i,j(c)}$

• 행렬 A에 일련의 기본행연산을 적용해서 행렬 B를 얻을 수 있다면, A와 B는 행상등(row-equivalent)
  $A → A_1 → A_2 → \cdots → B$

• 원소가 모두 0인 은 영행(zero row)
• 영행이 아닌 행의 첫번째로 0이 아닌 원소는 해당 행의 선도원소(leading entry)

• 행렬 $A$가 행제형(row-echelon form)이 되는 조건 3가지(사다리꼴 행렬)
  ① 영행이 있다면, 그 행은 영행이 아닌 행의 아래에 있음
  ② 모든 선도원수는 1
  ③ 영행이 아닌 연속된 두 행($i$번째 행과 $i+1$번째 행)이 있을 때,
       $i$번째 행의 선도원소는 $i+1$번째 행의 선도원소보다 왼쪽에 위치($i \geq 1$)

• 행제형 행렬 $A$이 다음 조건을 만족하면 소거행제형(reduced row -echelon form)
  + $i$번째 행의 선도원소가 $j$번째 열에 있다면, $j$번째 열의 다른 모든 원소는 0

3. 가우스 소거법

1단계 : 계수행렬 $A$와 상수행렬 $B$로 확대행렬 $C$를 구성
2단계 : 기본행연산을 통해 $C$를 행제형으로 변환
3단계 : 후진대입으로 해를 차례로 구함

4. 가우스-조르단 소거법

1단계 : 계수행렬 $A$와 상수행렬 $B$로 확대행렬 $C$를 구성
2단계 : 기본행연산을 통해 $C$를 소거행제형으로 변환
3단계 : 각 행의 선도원소가 해당 미지수의 값이 됨

▷ 손진곤·강태원, 『선형대수』, 한국방송통신대학교출판문화원, 2015