1. ℝ², ℝ³, ℝⁿ 공간벡터

유클리드 $n$차원 공간은 $n$개의 실수들의 순서열 전체의 집합
$R^n=\{(x_1, x_2,\cdots,x_n)\,|\,^∀ x_i∈R,\;i=1,2,\cdots,n\}$

• 실수 $x_i$ : $(x_1, x_2,\cdots,x_n)$의 $i$번째 성분
• $R^1$ : 실수 집합 $R$
• $R^2=R\times R$ : 평면 공간
• $R^3=R\times R\times R$ : 3차원 공간

< 벡터의 정의 및 상등 >

$R^2$	$R^3$	$R^n$
$A=(a_1,a_2)$	$A=(a_1,a_2,a_3)$	$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$
$A=(a_1,a_2)\\B=(b_1,b_2)\\a_1=b_1,\;a_2=b_2\\→A=B\\\;$	$A=(a_1,a_2,a_3)\\B=(b_1,b_2,b_3)\\a_1=b_1,\;a_2=b_2,\\a_3=b_3\\→A=B$	$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\\B=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\\∀i,\;a_i=b_i\\→A=B\\\;$

< 벡터의 크기 $|A|$ >

$R^2$	$R^3$	$R^n$
$A=(a_1,a_2)$	$A=(a_1,a_2,a_3)$	$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$
$∣A∣=\\ \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$	$∣A∣=\\ \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}$	$∣A∣=\\ \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2}\\ =\sqrt{\sum^n_1{{a_i}^2}}$

❗️여기서 |A|는 절대값이 아님

< 벡터의 실수곱 $kA$ >

$R^2$	$R^3$	$R^n$
$A=(a_1,a_2)$	$A=(a_1,a_2,a_3)$	$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$
$kA=\\(ka_1,ka_2)$	$kA=\\(ka_1,ka_2,ka_3)$	$kA=\\(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$

< 벡터의 벡터 합 $A+B$ >

$R^2$	$R^3$	$R^n$
$A=(a_1,a_2)$	$A=(a_1,a_2,a_3)$	$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$
$A=(a_1,a_2)\\B=(b_1,b_2)\\A+B=\\(a_1+b_1,\;a_2+b_2)\\\;$	$A=(a_1,a_2,a_3)\\B=(b_1,b_2,b_3)\\A+B=\\(a_1+b_1,\;a_2+b_2,\\a_3+b_3)$	$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\\B=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\\A+B=\\(a_1+b_1,\;a_2+b_2,\cdots,\\a_n+b_n)\;$

< ℝⁿ 공간 벡터의 성질 >

$A,B,C∈R_n,\;\;k,l∈R$

1. $A+B=B+A\;\;$ : 덧셈의 교환법칙
2. $A+(B+C)=(A+B)+C\;\;$ : 덧셈의 결합법칙
3. $A+O=O+A=A\;\;$ : 덧셈의 항등원
4. $A+(-A)=(-A)+A=O\;\;$ : 덧셈의 역원
5. $k(A+B)=kA+kB\;\;$ : 실수곱의 배분법칙1
6. $(k+l)A=kA+lA\;\;$ : 실수곱의 배분법칙2
7. $k(lA)=(kl)A\;\;$ : 실수곱의 결합법칙
8. $1A=A\;\;$ : 실수곱의 항등원
   
   

2. ℝ³ 공간의 직선의 방정식

두 점을 지나는 직선

• 원점 $O$
• 두 점 $P(x_1,y_1,z_1)$와 $Q(x_2,y_2,z_2)$
  • 원점에서 시작해 $P$에서 끝나는 벡터 $A=\overrightarrow{OP(x_1,y_1,z_1)}$
  • 원점에서 시작해 $Q$에서 끝나는 벡터 $A=\overrightarrow{OQ(x_2,y_2,z_2)}$
• 두 점을 지나는 직선 위의 임의의 점 $X(x,y,z)$
• 임의의 점 $X$에 대한 벡터 $C$

한 점을 지나고 방향벡터에 평행한 직선

• 원점 $O$
• 한 점 $P(x_1,y_1,z_1)$
• 방향벡터 $A(x_2,y_2,z_2)$
• 점 $P$를 지나면서 벡터 $A$에 평행한 직선 위의 임의의 점 $X(x,y,z)
• 임의의 점 $X$에 대한 벡터 $C$

3. 벡터의 내적

$R^n$ 공간의 두 벡터 $A=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\;B=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 가 있을 때,
벡터 $A$와 $B$의 내적을 $A⋅B=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$ 으로 정의
(행렬$A$와 $B$로 치환하면 $A⋅B=AB^T$)

< 내적의 성질 >

$R^n$공간의 벡터 $A,B,C$와 실수 $k$에 대한 법칙 성립

• $A⋅B=B⋅A\;\;$ : 교환법칙
• $A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C\;\;$ : 배분법칙
• $(kA)⋅B=k(A⋅B)=A⋅(kB)\;\;$ : 결합법칙
• $A⋅A=|A|^2≥0$
  ($A⋅A=0$ 일 필요충분조건은 $A=O$)
  
  

< ⭐️ 벡터의 내적과 사이각 >

벡터공간의 두 벡터 $A$와 $B$의 사이각 $\theta$에 대해
$A⋅B=|A|\;|B|\;cos\theta$ 가 성립

$R^n$ 벡터공간의 두 벡터 $A$, $B$의 사이각 $\theta$는 다음을 만족
$cos\theta=\frac{A⋅B}{|A|\;|B|}$

< 벡터의 내적과 사이각, 정사영벡터 >

$A⋅B=|A|\;(|B|\;cos\theta)=(|A|\;cos\theta)\;|B|$
(A의 크기 × B의 A로의 정사영벡터의 크기 = A의 B로의 정사영벡터의 크기 × B의 크기)

• 정사영벡터 : $\overrightarrow{OH_1}=\overline{OH_1}⋅U_A$
• 단위벡터 : $U_A=\frac{A}{|A|}=\frac{1}{|A|}A$
  
  

< 두 벡터의 수직 조건 >

$R^2$나 $R^3$에서 영벡터가 아닌 두 벡터 $A, B$ 가 수직인 것은 $A⋅B=0$ 인 것과 동치

4. 벡터의 외적

벡터의 외적은 $R^3$ 공간에서의 곱셈 (3차원 벡터 × 3차원 벡터 = 3차원 벡터)

평행하지 않은 두 벡터 $A=(a_1,a_2,a_3),\;B=(b_1,b_2,b_3)$
모두에 수직인 벡터 중 $C=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1)$
를 벡터 $A,B$의 외적이라 하고 $C=A\times B$ 로 표시

• 위로 올라가는 벡터, 아래로 내려가는 벡터 중 위로 올라가는 것 선택
• 기본단위벡터
  • $x$축 방향의 단위벡터 $E_1=(1,0,0)$
  • $y$축 방향의 단위벡터 $E_2=(0,1,0)$
  • $z$축 방향의 단위벡터 $E_3=(0,0,1)$
    → 임의의 벡터 $(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$
• $(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1)$ 을 행렬식으로 표현 가능
  $=\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a_3&a_1\\b_3&b_1\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix}E_1+\begin{vmatrix}a_3&a_1\\b_3&b_1\end{vmatrix}E_2+\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}E_3\\=\begin{vmatrix}E_1&E_2&E_3\\a_!&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$
  
  

< 외적의 성질 >

$A,B,C∈R^3,\;\,k,l∈R$ 이면

• $A\times B=-(B\times A)\;\;$ : 결합법칙은 성립되지 않지만 부호가 달라짐
• $A\times A=O$
  • $A\times(B\times C)≠(A\times B)\times C\;\;$ : 평행한 두 벡터의 외적은 $O$
• $kA\times lB=kl(A\times B)\;\;$ : 결합법칙
• $A\times(B+C)=(A\times B)+(A\times C)\;\;$ : 배분법칙
  
  

< 외적의 크기 >

$|A\times B|=|A|\;|B|\;sin\theta\;$ (벡터 $A$와 $B$로 구성되는 평행사변형의 면적과 같음)


↓ 응용

내적과 외적으로 평행육면체의 부피 구하기
$(A\times B)⋅C=|A\times B|\;|C|\;cos\theta$

▷ 손진곤·강태원, 『선형대수』, 한국방송통신대학교출판문화원, 2015