• 연립방정식의 해를 구하는 방법 1 : 크래머 공식을 이용
• 연립방정식의 해를 구하는 방법 2 : 역행렬을 이용하는 방법

1. 크래머 공식

크래머 공식(Cramer's rule)은 미지수 개수와 방정식 개수가 같은 일차연립방정식의 해를 구하는 방법

$\begin{cases}a_{11}x_1 \;+ a_{12}x_2 \,+ \cdots + a_{1n}x_n \;= b_1\\a_{11}x_1 \;+ a_{12}x_2 \,+ \cdots + a_{1n}x_n \;= b_1\\\quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\vdots\\a_{n1}x_1 + a_{mn2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n\end{cases}$

다음과 같은 일차연립방정식의 계수행렬 $A$가 $|A|≠0$이면, 유일한 해를 가짐

$\quad\quad\;\;\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1j-1}&b_{1}&a_{1j+1}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2j-1}&b_{2}&a_{2j+1}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nj-1}&b_{n}&a_{nj+1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}$
$x_j=\frac{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;}{|\,A\,|}=\frac{b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+\cdots+b_nA_{nj}}{|\,A\,|}=\frac{|\,A_j\,|}{|\,A\,|}$

분자는 계수행렬의 $j$열 대신에 상수행렬 $B=(b_1b_2\cdots b_n)^T$ 를 열로 써 넣은 행렬식

📖 크래머 공식으로 일차연립방정식의 해 구하기
$\begin{cases} 2x_1+x_2-x_3=3\\x_1+3x_2+2x_3=1\\x_1+2x_2+2x_3=2 \end{cases}$

✏️ 풀이
$|A|=\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&3&2\\1&2&2\end{vmatrix}=5\\$
크래머 공식에 대입
$x_1=\frac{1}{5}\begin{vmatrix}3&1&-1\\1&3&2\\2&2&2\end{vmatrix}=\frac{12}{5}\\$
$x_2=\frac{1}{5}\begin{vmatrix}2&3&-1\\1&1&2\\1&2&2\end{vmatrix}=-1\\$
$x_1=\frac{1}{5}\begin{vmatrix}2&1&3\\1&3&1\\1&2&2\end{vmatrix}=\frac{4}{5}$

2. 행렬식과 역행렬

(1) 수반행렬

참고 : [행렬식]
$n$차 정방행렬 $A=(a_{ij})$의 여인수 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 일 때,

• $A$의 여인수 행렬(cofactor matrix) $B=(A_{ij})$
• $A$의 여인수 행렬의 전치행렬은 $A$의 수반행렬(adjoint matrix) $adjA$

$adjA=B^T=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}$

(2) 역행렬 구하기

• 역행렬 구하는 방법 1 : 기본행 연산 이용
• 역행렬 구하는 방법 2 : 행렬식과 수반행렬을 이용
  $n$차 정방행렬 $A=(a_{ij})$이 $|A|≠0$ 일 때, $\;A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}$

📖 $|A|$와 $adjA$를 이용하여 행렬 $A$의 $A^{-1}$ 구하기
$A=\begin{pmatrix}1&-1&-3\\1&4&0\\2&5&1\end{pmatrix}$

✏️ 풀이
(1) 행렬식 구하기
$|A|=\begin{vmatrix}1&-1&-3\\1&4&0\\2&5&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-1&-3\\5&1\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}1&-3\\2&1\end{vmatrix}-0\begin{vmatrix}1&-1\\2&5\end{vmatrix}=-14+28=14\\$
(2) 수반행렬 구하기
$adjA=\begin{pmatrix}+4&-1&-3\\-14&+7&-7\\+12&-3&+5\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}4&-14&12\\-1&7&-3\\-3&-7&5\end{pmatrix}\\$
(3) 역행렬 구하기
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}adjA=\begin{pmatrix}4&-14&12\\-1&7&-3\\-3&-7&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2}{7}&-1&\frac{6}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{2}&-\frac{3}{14}\\-\frac{3}{14}&-\frac{1}{2}&\frac{5}{14}\end{pmatrix}$

일차연립방정식 $AX=B$는 $|A|≠0$일 때, 유일한 해 $X=A^{-1}B$를 가짐
↕︎
$n$차 정방행렬 $A$가 정칙행렬이기 위한 필요충분조건은 $|A|≠0$
↕︎
$A$가 $n$차 정칙행렬이면 임의의 $n\times 1$행렬 $B$에 대해 행렬방정식 $AX=B$는 유일한 해 $X=A^{-1}B$를 가짐

▷ 손진곤·강태원, 『선형대수』, 한국방송통신대학교출판문화원, 2015