1. 기본 용어

(1) m × n 행렬 A

• $A=(a_{ij})$ → $A$의 $(i, j)$원소 ⇒ $A$의 $i$번째 행의 $j$번째 원소 $(1≤i≤m,\, 1≤j≤n)$
• $m \times n$ 크기를 가진 행렬 전체의 집합($A$가 포함된)을 $M_{mn}$으로 정의
• 모든 원소가 0인 $A$는 영행렬(zero matrix) $O$ 으로 정의
• $m=n$ 일 때,
  • $A$는 n차 정방행렬(square matrix of order $n$)
  • 모든 $a_{ii}$는 $A$의 주대각(main diagomal)원소 ❗️$ij$ 가 아닌 $ii$
    
    

n차 정방행렬 $A=(a_{ij})$ 중에서

• $a_{ij}=0\;(i≠j)$ 를 만족하면 대각행렬(diagonal matrix)
  (주대각원소가 아닌 원소는 모두 0)
  • $a_{ii}=c\;(1≤i≤n)$ 를 만족하는 대각행렬은 스칼라행렬(scalar matrix)
    (주대각원소의 값이 모두 동일)
  • $a_{ii}=1\;(1≤i≤n)$ 를 만족하는 대각행렬은 단위행렬(identity matrix)
    (주대각원소의 값이 모두 1)
• 삼각행렬(triangular matrix) = 하삼각행렬 + 상삼각행렬
  • $a_{ij}=0\;(i<j)$ 를 만족하면 하삼각행렬(lower triangular matrix)
    (주대각원소의 아래 삼각행렬에 의미 있는 값 존재)
  • $a_{ij}=0\;(i>j)$ 를 만족하면 상삼각행렬(upper triangular matrix)
    (주대각원소의 위 삼각행렬에 의미 있는 값 존재)

(2) 행렬의 상등 조건

① $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$가 둘 다 $m \times n$ 행렬 ⇒ 크기가 같음
② 모든 $(i, j)\;(1≤i≤m,\, 1≤j≤n)$에 대해 $a_{ij}=b_{ij}$ ⇒ 같은 위치의 성분이 같음

⇒ 두 가지 조건이 만족하면 $A$와 $B$는 서로 같다(상등하다)

2. 행렬의 합

배열구조가 같은 두 행렬을 더하는 연산
$m \times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$의 합은 $m \times n$ 행렬 $C=(c_{ij})$

• $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\;(1≤i≤m,\, 1≤j≤n)$
• $A+B=C$
  
  

🔍 행렬의 합의 성질

임의의 행렬 $A, B, C∈M_{mn}$일 때, 다음이 성립

• $A+B=B+A$   :   덧셈에 관한 교환법칙
• $A+(B+C)=(A+B)+C$   :   덧셈에 관한 결합법칙
• $A+O=A$ 를 만족하는 유일한 영행렬이 $M_{mn}$에 존재   :   덧셈에 관한 항등원
• $A+D=O$ 를 만족하는 행렬 $D$가 $A$에 대해 유일하게 $M_{mn}$에 존재
  행렬 $D$는 $-A$   :   $A$의 음행렬(nagative matrix)
  따라서 $A+(-A)=O$
  
  

3. 행렬의 스칼라곱

하나의 행렬(두 행렬 아님)의 모든 원소에 하나의 수를 곱하는 연산
$A=(a_{ij})$가 $m \times n$ 행렬, $c$는 임의의 수

• $m \times n$ 행렬 $cA=(ca_{ij})\;(1≤i≤m,\, 1≤j≤n)$

🔍 행렬의 스칼라곱의 성질

임의의 행렬 $A, B, C∈M_{mn}$이고, 임의의 수 $c, d$가 있을 때, 다음이 성립

• $(c+d)A=cA+dA$   :   곱셈에 관한 분배법칙(실수끼리의 합 분배)
• $c(A+B)=cA+cB$   :   곱셈에 관한 분배법칙(행렬끼리의 합)
• $c(dA)=(cd)A$   :   곱셈에 관한 결합법칙
• $1A=A$   :   곱셈에 관한 단위원
  
  

4. 행렬의 곱

두 행렬을 곱하는 연산
$m \times p$ 행렬 $A=(a_{ij})$와 $p \times n$ 행렬 $B=(b_{ij})$의 곱은 $m \times n$ 행렬 $C=(c_{ij})$

• $c_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^{p}{a_{ik}b_{kj}}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ip}b_{pj}\;(1≤i≤m,\, 1≤j≤n)$
• $AB=C$

(1) 유의사항 : AB ≠ BA

$m \times p$ 행렬 $A$와 $p \times n$ 행렬 $B$에 대해 $AB$를 계산하면 $m \times n$ 행렬이 됨
하지만, 순서를 변경해서
$p \times n$ 행렬 $B$와 $m \times p$ 행렬 $A$에 대해 $BA$를 계산할 경우 4가지 경우의 수 존재

• $BA$가 정의되지 않음 $(n≠m)$
• $BA$가 정의되지만 $AB$와 크기가 같지 않음 $(n=m,\,p≠n)$
  (즉, $AB$는 $n$차 정방행렬, $BA$는 $p$차 정방행렬)
• $BA$가 정의되고 $AB$와 크기도 같으나, $AB≠BA$
• $BA$가 정의되고 $AB$와 크기도 같으며, $AB=BA$

⇒ 행렬의 곱은 교환법칙이 성립되지 않음

🔍 행렬의 곱의 성질

• $A(B+C)=AB+AC$   :   곱셈에 관한 분배법칙
• $(A+B)C=AC+BC$   :   곱셈에 관한 분배법칙
• $A(BC)=(AB)C$   :   곱셈에 관한 결합법칙
• $A(cB)=c(AB)=(cA)B$   :   곱셈에 관한 결합법칙

+

< 행렬 곱의 특이한 성질 >

• 행렬 $A, B$가 $A≠0, B≠0$ 임에도 $AB=O$ 일 수 있음
• 행렬 $A, B, C$에서 $B≠C$ 임에도 $AB=AC$ 일 수 있음
  
  

(2) 유의사항 : 행렬 곱의 항등원

실수에서 임의의 수 $a$에 대해 $1a=a1=a$를 만족하는 곱셈에 대한 항등원 1 존재
행렬에서 $AI=IA=A$를 만족하는 행렬 $I$는 단위행렬
$m \times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$에 대해 $AI_n=A,\,I_mA=A$

⇒ 단위행렬$I$는 행렬의 곱에 대한 항등원

(3) 유의사항 : 행렬의 거듭제곱

• 실수에서 $a \times a ≡ a^2,\;a\times a\times\cdots\times a≡a^k$ ($k$번 곱함)
  $n$차 정방행렬 $A=(a_{ij})$에 대해서 행렬 곱 $AA$ 정의 → 다시 $n$차 정방행렬
  $A \times A ≡ A^2,\;A\times A\times\cdots\times A≡A^k$ ($k$번 곱함)
• 실수에서 $a^0=1$인 것처럼
  행렬에서 $A^0=I_n$ → 행렬을 0번 곱한 것은 항등원
• 음이 아닌 정수 $r$과 $s$에 대해 $A^rA^s=A^{r+s},\;{(A^r)}^s=A^{rs}$
  
  

4. 행렬의 전치

하나의 행렬에 속한 원소들의 행과 열을 서로 바꾸어 배치하는 단항연산
$m \times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$의 전치행렬(transpose of $A$)은 $n \times m$ 행렬 $A^T=({a_{ij}}^T)$
${a_{ij}}^T=a_{ji}\;(1≤i≤m,\, 1≤j≤n)$

전치행렬 중에서 $A^T=A$ 를 만족하는 행렬 $A$는 대칭행렬(symmetrix matrix)

• 조건 1 : 정방행렬
• 조건 2 : $a_{ij}=a_{ji}$

⇒ 대칭행렬은 주대각원소를 기준으로 대칭되는 위치의 원소가 동일한 행렬

🔍 행렬의 전치의 성질

• ${(A^T)}^T=A$   :   전치의 전치는 원래의 행렬
• ${(A+B)}^T=A^T+B^T$   :   ⭐️ 행렬의 합 연산과 전치 연산의 우선순위는 동일
• ${(AB)}^T=B^TA^T$
• ${(cA)}^T=cA^T$   :   ⭐️ 행렬의 스칼라곱 연산과 전치 연산의 우선순위는 동일

▷ 손진곤·강태원, 『선형대수』, 한국방송통신대학교출판문화원, 2015