연속균등분포(continuous uniform distribution)는 확률밀도가 일정한 분포이다. 확률변수 X가 구간 [a, b]에서 연속균등분포를 따르면 X∼U[a,b]라 표기한다.
연속균등분포의 확률밀도함수, 기댓값, 분산 f(x)={b−a1,0,a≤x≤botherwise E(X)=2a+b,Var(X)=12(b−a)2
증명은 생략한다.
# 정규분포
1. 정규분포의 특성
확률분포 중에서 가장 활용도가 높은 분포가 정규분포(normal distribution)이다. 실제로 많은 자연현상이나 사회현상이 정규분포를 따르고 있는 것으로 알려져 있다. 정규분포는 다음과 같은 특성을 지니고 있다.
정규분포의 위치와 모양은 평균 μ와 분산 σ2에 의해서만 결정된다. 이런 특성을 반영하여 확률변수 X가 정규분포를 따르면 X∼N(μ,σ2)라 표기한다. μ와 σ2 값에 따른 정규분포의 모양은 아래와 같다. 평균에서의 확률밀도가 가장 높고, 분산이 클수록 넓게 펴진 형태이다.
정규분포는 종모양(beel shaped)이다.
정규분포는 평균을 중심으로 대칭을 이루므로 비대칭도의 값은 0이다.
평균, 중앙값, 최빈값은 동일하다.
정규분포를 따르는 확률변수가 취할 수 있는 값은 −∞와 +∞ 사이이다.
확률변수 X가 μ를 중심으로 σ의 1배, 2배, 3배에 해당하는 구간의 확률은 다음과 같다.
두 확률변수 X와 Y가 정규분포를 따르면, 선형결합(linear combination)인 aX+bY도 정규분포를 따른다.
2. 정규분포의 확률(밀도)함수와 구간확률 구하기
확률변수 X가 정규분포를 따를 때, 확률변수 X에 대한 확률밀도함수는 다음과 같다.
정규분포의 확률밀도함수 f(x)=2πσ21e−21(σx−μ)2
확률변수 X가 정규분포를 따를 때 X가 일정구간 [a,b]에 속할 확률은 다음과 같은 복잡한 적분계산을 해야 하는데, 사실상 손으로 구하는 것은 불가능하다.
P(a≤X≤b)=∫ab2πσ21e−21(σx−μ)2dx
정규분포 [a,b] 에서의 구간확률은 엑셀 함수를 이용하여 구한다.
엑셀의 함수 NORM.DIST(x,μ,σ, True) 는 P(X≤x)를 의미한다.
따라서, P(a≤X≤b)는 다음과 같이 구할 수 있다.