[프린스턴 수학 안내서] I. 입문 (작성 중)

수학의 분야

수학의 주요 분야: 대수학, 기하학, 해석학

대수학적 사고: 기호에 의존
vs
기하학적 사고: 그림을 곁들인 시각적 사고

대수학적 사고: 정확한 공식 선호(등식 선호)
vs
해석학적 사고: 어림 계산을 선호(부등식 선호)

• 대수학: 수체계와 다항식, 그리고 추상적 개념인 군(group), 체(field), 벡터공간, 환(ring)을 다룸
• 정수론: 양의 정수의 특성 연구. 대수적 정수론은 정수 범주 안에서 방정식을 연구하다 탄생하였으며, 해석적 정수론은 소수(prime number)에 뿌리를 둠
• 기하학: 다양체 연구가 주된 목적. 다양체란 구의 표면 같은 기하학적 곡면을 고차원으로 확장시킨 개념. 두 다양체의 같고 다름을 정의하는 기준에 따라 몇 개의 분야로 세분화(e.g. 위상수학)
• 대수기하학: 다항식을 통해 다양체를 정의. 특이점(singularity)을 가진 다양체를 주로 연구(e.g. 원뿔)
• 해석학: 편미분방정식(많은 물리적 과정이 편미분방정식으로 서술. 역학의 상당부분은 편미분방정식의 해의 장기행동(long-term behavior)과 깊게 관련)과 동역학(간단한 과정을 여러 번 반복했을 때 어떤 결과가 나오는지를 분석)이 주요 주제
• 논리학: 집합론, 범주 이론(대상에 행해지는 것(한 원소를 다른 원소로 바꾸는 변환 등)에 관심), 모형 이론(모형(model)이란 타당한 공리를 모아놓은 수학적 구조를 의미), 연역법이 주요 주제
• 조합론(이산수학): 경우의 수, 이산 구조, 제한조건이 거의 없는 수학적 구조를 다룸
• 이론 컴퓨터과학: 계산을 수행하기 위해 필요한 시간과 컴퓨터 메모리 등 계산의 효율성 추구. 암호학과 같은 실질적인 분야에도 활발히 응용
• 확률: 확률적인 평가. 수학적 모형을 만들어 분석
• 수리물리학
  18세기까지만 해도 수학과 물리학 사이에는 뚜렷한 구별이 없었지만, 20세기 중반부터는 수학과 물리학이 완전히 갈라서게 됨. 그 후로 20세기 말까지, 수학자들은 물리학자들이 발견한 개념이 수학에서 매우 중요한 역할을 한다는 사실을 깨닫기 시작

  • 수학자: 엄밀한 증명을 찾고 싶어함
  • 물리학자: 수학은 하나의 도구. 엄밀한 증명 없이도 대략적인 수학논리로 쉽게 설득이 되는 편. 제한조건이 느슨한 환경에서 상상의 나래를 쳘치다가, 수학자들이 오래 전에 발견했던 수학적 현상들을 뒤늦게 발견하곤 함

수학의 언어와 문법

자연어와의 비교

One plus one equals two

• 명사: One → 1, one → 1, two → 2
• 동사: equal → =
• 접속사: plus → +

plus는 and와 비슷한 뜻을 가지고 있지만 일치하지는 않음

• Sam and Harry love Seoul → 동사 love의 주체가 복수
  • Sam loves Seoul and Harry loves Busan → 대상 뿐 아니라 문장을 통째로 연결하기도 함
• Two plus two equals four → 동사 equal의 주체가 단수

즉, plus는 두 개의 대상을 묶어 하나의 새로운 대상으로 만드는 반면, and는 두 개의 대상을 하나로 묶긴 하지만 그 정도가 느슨하여 독립적인 대상으로 남아있음. 또한 and는 두 개의 대상뿐 아니라 두 개의 문장을 통째로 연결하기도 함. 따라서, 아래와 같이 해석할 수 있음

• Sam and Harry love Seoul → Sam loves Seoul and Harry loves Seoul

위와 같은 언어의 용도를 찾고 분류해내는 작업은 매우 복잡한 일이며, 아무리 세분화해서 경우를 따져봐도 예외적인 경우는 끝도 없이 나타남

네 가지 기본적 개념

집합

집합(set): 대상들의 모임
수학적 집합이 되려면 집합의 구성 성분들은 숫자나 공간상의 점들과 같은 수학적 대상이어야 함

• 2 belongs to set P
  → 2 is an element of set P
  → 2 ∈ P

• $P = \{x : x \textrm{ is a prime number and } x < 20\}$
  에서 $\{\}$는 집합~(the set of)를 콜론(:)는 ~와 같다(such that)을 의미

예시 1
원점 (0,0)에 있으면서 반지름이 1인 원
→ $\{(x, y) : x^2 + y^2 = 1\}$

예시 2
태양은 노랗다(sun is yellow)
→ 태양은 집합 Y에 속한다(sun belongs to the set Y)
→ ${\rm sun} ∈ Y$

다음과 같은 경우에 집합론에 입각한 표기가 유용하다

• 특성을 공유하는 전체를 하나의 대상으로 취급하고 싶을 때
• 새로운 수학적 대상을 정의할 때
• 메타수학(meta-mathematics)
  • 수학적 대상에 대한 서술을 증명하는 것이 아니라 수학적 논리 자쳬의 타당성을 증명할 때

함수

함수(function): 수학적 변환. 수학적 대상에 변환을 가하여 다른 대상으로 만드는 것

예시 1
3 < 5 $→$ $\sqrt{9}$ < 5
(더하기, 곱하기, 코사인, 로그 등도 가능)

예시 2
$G$ $→$ $G$의 중력중심(the center of gravity of $G$): 하나의 점으로 변환
(더하기, 곱하기, 코사인, 로그 등도 가능)

함수는 어떤 과정에 더 가깝지만, 이를 하나의 대상으로 간주하는 것은 매우 유용

1. 함수는 성질을 가질 수 있는데, 이런 성징을 논하려면 함수를 하나의 대상으로 간주할 필요가 있음
   (e.g. sin의 미분은 cos)
2. 대부분의 대수구조는 함수를 집합으로 간주했을 때 논리가 가장 자연스럽게 진행

$f(x) = y$ : $f$는 대상 $x$를 $y$로 변환시키는 함수

함수 뒤집기(inverting a function, 역함수)
$f:n → n+3 ↔ f^{-1}:n → n-3$

뒤집기가 불가능한 함수도 존재. 따라서 함수를 형식적으로 논하려면 어떤 대상을 변환할 것이며, 변환 후에는 어떤 종류의 대상이 되는지 분명하게 밝혀야 함.

• 정의역(domain): 변환 대상의 집합
• 공역(codomain, target set)
• 치역(range): 변환된 대상의 집합
• 상(image): $\{f(x): x∈A\}$
  $A$의 원소인 $x$가 $f$를 통해 $f(x)$로 변환되었을 때, $x$의 상은 $f(x)$. 공역에 있는 $y$들이 모두 사용될 필요는 없음

$f: A→B$ ($f$ : 함수, $A$ : 정의역, $B$ : 공역)

$f(x)=y$ or $f:x↦y$ when $x∈A$, $y∈B$
(단, 여기서 사용된 화살표 ↦는 $f:A→B$의 화살표와 의미가 크게 다르다. B는 공역, y는 치역이다. 치역과 공역이 같은 함수를 전사 함수라고 한다)

• 단사함수(injection, 일대일함수): $x$와 $x'$이 $A$에 속하는 서로 다른 원소일 때, $f(x)$와 $f(x')$가 다르다는 조건을 만족하는 함수
• 전사함수(surjection): $A$에 속하는 임의의 원소 $x$로 만들어진 $f(x)$가 $B$에 속하는 $y$ 중 하나와 반드시 같다는 조건을 만족하는 함수
• 전단사함수(bijectiom, 일대일대응): 전사함수면서 단사함수인 함수. 모든 전단사함수는 그에 대응하는 역함수를 가짐

하지만 대부분의 함수는 깔끔하게 정의되지 않는다. 예를 들어,

$f$ : 양의 정수 $→$ 양의 정수
$f(n) = \begin{cases}n & \textrm{when n is prime number}\\k & \textrm{when } n=2^k, k>0, k∈\mathbb{Z} \\13 & \textrm{ otherwise}\end{cases}$

이처럼 정의할 수 없는 함수는 개별적 대상으로 유용하지 않을 수는 있지만, 하나의 집합을 다른 집합으로 변환하는 모든 함수의 집합은 흥미로운 수학적 구조를 갖고 있기 때문에 필요하다

관계

관계(relation): 명사 간의 관계를 나타내는 수학적 대상
동치관계(equivalence relation): 서로 달라보이는 두 개의 대상을 근본적으로 같은 것으로 취급하고 싶은 경우, 둘 사이의 등가관계를 정확하게 정의하기 위해 도입한 개념

예시 1
닮음(similar): 하나의 도형에 반전변환이나 회전변환, 평행이동, 확대변환, 또는 이들이 조합된 복합변환으로 다른 도형과 일치하게 만들 수 있을 때 두 도형은 닮음

예시 2
법(modulo) $m$에 대한 연산
$m$의 정수배만큼 차이가 나는 두 수 $→$ 법으로 합동(congruent(mod $m$))

동치류(equivalence class)

예시 1 $→$ 닮음 관계에 있는 모든 도형의 집합
예시 2 $→$ $m$으로 나눴을 때 나머지가 같은 모든 정수들의 집합

집합 $A$를 대상으로 정의된 관계 ~가 다음 세 가지 특성을 만족할 때 동치관계

1. 반사관계(reflexive relation): $A$에 속하는 모든 $x$들이 $x$ ~ $x$를 만족
2. 대칭관계(symmetric relation): $x$와 $y$가 $A$의 원소일 때, $x$ ~ $y$이면 $y$ ~ $x$
3. 추이관계(transitive relation): $x$, $y$, $z$가 $A$의 원소일 때, $x$ ~ $y$이고 $y$ ~ $x$이면, $x$ ~ $z$

이항연산

이항연산(binary operation): 더하기(plus), 빼기(minus), 곱하기(times), 나누기(divided by), 거듭제곱(raised to the power, ~승) 등

1. 이항연산은 완성된 문장이 아니라 3 더하기 1 같은 명사구
2. 집합 $A$에서 한 쌍의 원소를 취하여 다른 원소를 만들어내는 일종의 함수로 간주할 수 있음
3. 두 대상 사이에 끼어씀. 정의역과 치역을 정의하는 함수의 관점이 표기법에 반영되어 있지 않음

$*$을 임의의 연산이라 하자. 이 때,
1. 가환적(commutative) 연산: $x*y=y*x$
2. 결합적(associative) 연산: $x*(y*z)=(x*y)*z$
3. 항등원(identity): $e*x=x*e=x$ 를 만족하는 $e$
4. 역원(inverse): $x*y=y*x=e$ 를 만족하는 $y$는 $x$의 역원

이항연산의 기본적 특성들은 추상대수학(abstract algebra)의 기초를 이룸