10.14

정점 변환

Object는 다수의 Local Vertex로 이루어져있고, Local Vertex는 Object Matrix의 SRT변환에 의해 World Vertex로 변환될 수 있음
이렇게 변환된 World Vertex는 다수의 변환을 거쳐 NDC 좌표계 내부에 들어야 출력될 수 있음
$Local Vector * World Matrix * View Matrix * Projectile Matrix = NDC Coordinate$

View Matrix

임의의 Object는 SRT순으로 Transform한다.
$M_{Object}^{World} = I_{World} \times M_{Object Scale}^{World} \times M_{Object Rotate}^{World} \times M_{Object Translate}^{World} \newline M_{Camera}^{World} = I_{World} \times M_{Camera Rotate}^{World} \times M_{Camera Translate}^{World}$

Object의 이동을 간단한 표현으로 변경한다
$M_{Object Transform}^{World} = M_{Object Scale}^{World} \times M_{Object Rotate}^{World} \times M_{Object Translate}^{World}$

Camera가 이동한 반대 방향으로 모든 Object를 이동 시킨다
$M_{Object}^{World} \times {M_{Camera Translate}^{World}}^{-1} = I_{World} \times M_{Object Transform}^{World} \times {M_{Camera Translate}^{World}}^{-1} \newline M_{Camera}^{World} \times {M_{Camera Translate}^{World}}^{-1} = I_{World} \times M_{Camera Rotate}^{World}$

Camera가 회전한 반대 방향으로 모든 Object를 회전시킨다
$M_{Object}^{World} \times {M_{Camera Translate}^{World}}^{-1} \times {M_{Camera Rotate}^{World}}^{-1} = I_{World} \times M_{Object Transform} \times {M_{Camera Translate}^{World}}^{-1} \times {M_{Camera Rotate}^{World}}^{-1} \newline M_{Camera}^{World} \times {M_{Camera Translate}^{World}}^{-1} \times {M_{Camera Rotate}^{World}}^{-1} = I_{World}$

이제 Camera는 원점에 위치하게 되고 모든 Object는 Camera Coordinate를 기준으로 배치가 되므로 다음이 View Matrix가 된다
$I_{World} = M_{Object}^{World} \times M_{Camera}^{-1} = M_{View} \newline M_{Object}^{World} = M_{ObjectTransform}^{World}\newline M_{Camera} = M_{Camera Rotate}^{World} \times M_{Camera Translate}^{World}$

View Matrix 생성

초기 인수

Vector3 eye;	// Camera 위치
Vector3 vUp;	// y축을 의미하는 임의의 벡터
Vector3 target;	// 바라보고자 하는 위치

외적 이용법

Vector3 zAxis = target - eye;
Vector3 xAxis = vUp.Cross(zAxis);
Vector3 yAxis = zVector.Cross(xAxis);

내적 이용법(그람-슈미트 직교화)

Vector3 zAxis = target - eye;
Vector3 yAxis = vUp - (vUp.Dot(zAxis)) * zAxis;
Vector3 xAxis = yAxis.Cross(zAxis);

View Matrix 계산

$M_{Camera Translate} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ eye.x & eye.y & eye.z & 1 \end{bmatrix} \newline M_{Camera Translate}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -eye.x & -eye.y & -eye.z & 1 \end{bmatrix}$

$M_{Camera Rotate} = \begin{bmatrix} xAxis.x & xAxis.y & xAxis.z & 0 \\ yAxis.x & yAxis.y & yAxis.z & 0 \\ zAxis.x & zAxis.y & zAxis.z 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \newline M_{Camera Rotate}^{-1} = \begin{bmatrix} xAxis.x & yAxis.x & zAxis.x & 0 \\ xAxis.y & yAxis.y & zAxis.y & 0 \\ xAxis.z & yAxis.z & zAxis.z 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
행렬을 구성하는 각 벡터는 서로 수직하므로 Transpose연산만으로 역행렬을 구할 수 있음
이때 이동과 변환은 따로 계산하여야 한다