다변수함수의 미분적분

$\bold{X}=(x,y)$ 또는 $\bold{X}=(x,y,z)$라 하자.

$D \subset \mathbb{R}^{2} or \mathbb{R}^3$
이 때, domain $D$는 open set이다.

예를 들어,
위와같은 상황일 때,
$D := \{(x,y)|x^{2}+y^{2}<1\}$ 이라 할 수 있고,
이 때 영역 $\partial{D}$는 $\partial{D}:=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$로 정의한다.

특히, $\bar{D}=D \cup \partial{D}$

보통, 미분을 할 때 영역의 경계는 일반적으로 포함하지 않습니다.

예를 들어,

• $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$일 때 연속이고,
• $(0,1)$에서 미분 가능하다.

라는 식으로 미분 문제를 풀 수 있게끔 가정이 주어지곤 했습니다.

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$D\subset \mathbb{R}$을 domain이라 합시다.

이 때, $C^{2}(D)$는 $C^{2}(D)$라는 집합에 포함되는 변수는 모두 이계도함수가 잘 정의 된다는 뜻입니다.

예를 들어, $u\in C^{2}(D)$라면, $u_{xx}, u_{xy}, u_{yx}, u_{yy}$가 모두 존재하며, 특히 연속입니다.
즉, 2계도함수가 연속이기 때문에 당연히 $u$, $u_x, u_y$가 모두 연속일 거라는 결론이 도출됩니다.

이 때, 특별한 언급이 없으면 우선 $u_{xy}=u_{yx}$라 가정합니다.

Theorhm(Vanishing Theorhm)

$f가 \; continous \; in \; \bar{D},\; where \; D \; is \; bounded \; domain$, $f \geq0\;in\;\bar{D}$ 이면,

$\iiint_Df(\bold{X})dx=0$
$\Rightarrow f \equiv 0\;in\;\bar{D}$

즉, 음이 아닌 함수 값을 적분했을 때 0이 나오면, 그 함수 값 자체도 0이 된다.

또한,
$D_0:\forall D\subset D_0 \; in\; \mathbb{R}^{2} \;or\; \mathbb{R}^{3}$일 때,
$\iiint_D f(x)dx=0$이면
$\Rightarrow f\equiv 0 \;in \;D_0$

proof
만약, 특정 point $x_0$에서 함수 값이 0이 아니라 하자($f(x_0)\ne 0$).
그러면, $f(x_0)>{{1}\over{2}}f(x_0)$을 만족하는 이웃을 찾을 수 있을 것이다. 그러면, 해당 영역에서는 적분 값이 0이 될 수 없기 때문에 모순이다.

Theorhm(Chain Rule)

$(s.t) \rightarrow (x,y) \rightarrow u$
$x=g(s,t)$
$y=h(s,t)$
이 때, $u$를 $s,t$에 대한 함수로 이해할 수 있고, 아래와 같이 연쇄법칙(Chain rule)을 적용할 수 있다.

• ${{\partial u}\over{\partial s}}={{\partial u}\over{\partial x}}{{\partial x}\over{\partial s}}+{{\partial u}\over{\partial y}}{{\partial y}\over{\partial s}}$
• ${{\partial u}\over{\partial t}}={{\partial u}\over{\partial x}}{{\partial x}\over{\partial t}}+{{\partial u}\over{\partial y}}{{\partial y}\over{\partial t}}$

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Excercise

극좌표 $u(x,y)$를 $x=rcos\theta, y=rsin\theta$로 이해할 수 있다.

이 때, 아래와 같은 식이 성립한다.
$u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}+{{1}\over{r}}u_r+{{1}\over{r^{2}}} u_{\theta\theta}$


Proof
$u_r$
$={{\partial u}\over{\partial r}}$
$={{\partial u}\over{\partial x}}{{\partial x}\over{\partial r}}+{{\partial u}\over{\partial y}}{{\partial y}\over{\partial r}}$
$...$

$u_{rr}$
$={{\partial}\over{\partial r}}(u_r)$
$...$


Hint : ${{\partial u}\over{\partial r}}$에서 $u$대신 $u_x$를 대입하면 ${{\partial}\over{\partial r}}(u_x)$를 구할 수 있다(아니면 그냥 일계도함수에 연쇄법칙을 한 번 더 적용할 수 있다).

이후는 그냥 굿노트에 적자. 시간이 너무 많이 든다ㅎㅎ..