본 글은 Strauss, PDEs - an introduction의 APPENDIX를 참고하여 작성한 글입니다.

APPENDIX

Notation

$C^{k}(\mathbb{R})$은 $\mathbb{R}$ 공간에서 $k$번 미분가능하고, 그 도함수는 연속인 함수들의 집합이다.
예를 들어, $u\in C^{1}(\mathbb{R})$이라면, $u,u_x,u_y$가 모두 연속이다.

A.1. CONTINUOUS AND DIFFERENTIABLE FUNCTIONS

Calculus, 즉 미적분학은 무엇일까?

이를 다양한 관점으로 바라볼 수는 있겠지만, 대표적으로는
$limit$로 바라보는 관점이 있을 수 있다.

Theorhm (epsilon-delta)

$lim_{x->x_0}f(x)=L$
$\Leftrightarrow \forall_{\epsilon>0}, \exists \ \delta>0 \ \ s.t. \ \ 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

즉, 모든 양수 입실론에 대하여 위의 항진명제를 만족시키는 델타가 존재해야(즉, 찾아야)한다.

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Exercise

$\displaystyle{\lim_{x \to a}x^2=a^2}$
를 앱실론-델타 논법을 이용해 증명해보자.

sol

$\epsilon$이 주어졌을 때,
$|x-a|<\delta$ 이면, $|x^{2}-a^{2}|=|x-a||x+a|<\delta|x+a|<\epsilon$을 만족시키면 된다.

즉, $\delta<{{\epsilon}\over{|x+a|}}$$\cdots (1)$

를 만족시키자.

이 때, $\delta$는 충분히 작게 잡을 수 있으므로 기준을 $1$로 잡고 부등식을 도출 해보자.

$|x-a|<1$
$\Rightarrow |x|-|a|<|x-a|<1$
$\Rightarrow |x|<1+|a|$

즉,

$|x+a|\leq|x|+|a|<1+2|a|$ $\cdots (2)$

이 성립한다.

이 때, $\delta=min(1, {{\epsilon}\over{1+2|a|}})$로 잡아보자.

그러면,
$1\leq{{\epsilon}\over{1+2|a|}}$ 일 때,
$\delta=1$이고,
그 때 $(2)$에 의해, $\delta=1\leq {{\epsilon}\over{1+2|a|}}<{{\epsilon}\over{|x+a|}}$
또한,
$1\geq{{\epsilon}\over{1+2|a|}}$일 때,
$\delta={{\epsilon}\over{1+2|a|}}$이므로 마찬가지로 $|x-a|<\delta<1$이고,
$|x+a|<1+2|a|$이다. 즉,
$\delta={{\epsilon}\over{1+2|a|}}<{{\epsilon}\over{|x+a|}}$

어느 경우에도 식 $(1)$을 만족시킨다. $\blacksquare$

사실 이 문제는 그림을 그려 직관적으로 이해하면 어렵지 않습니다.

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Therom (Maximum-Minimum)

최대최소정리

$f:[0,1]->\mathbb{R} : continous,$
$\Rightarrow \exists x^{*}, x_* \in[0,1],\; s.t$

• $f(x)<=f(x^{*}) , \;\; \forall\;0<=x<=1$
• $f(x_*)<=f(x), \;\; \forall\; 0<=x<=1$

즉, 최댓값 최솟값이 위의 정의역 내에 존재한다.
(단, 어디에 존재하는지, 유일하게 존재하는 지는 알 수 없다).

Question
위의 최대 최소 정리는 어떻게 증명을 할까? (해석학)
$f([0,1]) : bounded$ 일 때,
실수의 유계인 부분집합은 하한과 상한이 항상 존재한다. 위로만 유계되어 있으면 상한을 가지고, 아래로 유계되어 있으면 하한이 항상 존재한다.
-> 실수의 완비성
이 때, $sup(f([0,1])=f(x^{*})$를 보이면 된다.
가정 상 유계되어 있는 함수기 때문에 위의 $sup(f([0,1])$은 존재한다.

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A.2. VECTOR FIELDS

$\mathcal{L}u=0$
$\mathcal{L}u=u_x+u_y$라 하자.

이 때, mapping $\mathcal{L}: C^{1}(\mathbb{R}^{2})\rightarrow C(\mathbb{R})$

함수공간은 보통 다항식의 차수로 제한하지 않는 이상 dimension은 **infinity

$\mathcal{L} :$ linear

즉, $u$는 무한 차원 공간의 벡터 스페이스라는 것.

$\mathcal{L}u=0$이란?
$\Leftrightarrow u\in kernel(\mathcal{L})$

이 때, PDE의 order는 1이고, 상수 계수 이기 때문에 $ker(\mathcal{L})$의 차원은 1일 것이다.

로우 레벨에서는 대부분 linear만 다룬다.
$\mathcal{L}u=f u\in f+ker(\mathcal{L})$

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ODE 에서는,

$V(t)$를 unknown func.라 할 때

$V^{H}+aV'+bV=0, \; a,b\in\mathbb{R}$.
와 같이 식이 주어지면, 이를

$v=c_1u_1(t)+c_2u_2(t)$
와 같은 식으로 변형할 수 있었다.

이 때, linearly independent하기 때문에 $u_1,u_2$은 vector space의 basis이다.
즉, PDE의 order가 이러한 역할을 한다.

$v(0)=D=V'(0)$으로 initial condition이 주어지면, 위 식의 $a,b$를 유일하게 정할 수 있다. $v=0$이 해가 되기 때문에 곧바로 유일한 해가 된다.

즉, PDE에서 linear일 땐 basis를 우선 찾고, condition에 따라 계수를 정하는 과정을 거치는 게 일반적으로 PDE를 푸는 방법이다.

책의 1.5절에 있는 이야기인데, 편미분방정식이 well-posed, 즉 잘 정의 된다는 말은
해의 존재성(existence), 유일성(uniqueness), 안정성(stability)을 만족시킨다는 말과 같다.

stability
$\mathcal{L}u=f$라 하자.
이 때, $f$를 약간씩 smooth하게 변화를 준다면 그 변화에 따라 $u$또한 합리적으로 변하면 stability를 만족시킨다 한다.

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A.3 DIFFERENTIATION AND INTEGRATION

Theorhm (DERIVATIVES OF INTEGRALS)

$f:[a,b]\times [c,d] \rightarrow \mathbb{R}$

$f(x,t), {{\partial f}\over {\partial t}}(x,t) \;is\;continuous? \; Then,$
$\Rightarrow {{d}\over{dt}}(\int^{b}_w(f(x,t)dx)=\int^{b}_w{{\partial f}\over{\partial t}}(x,t)d(x)$

위와 같은 조건이 있어야 미분 기호가 적분 안으로 들어갈 수 있다.
증명 아이디어는 책에 있다.

$\nabla t \rightarrow 0$일 때, uniformly convergence해서 미분 기호가 적분 안으로 들어갈 수 있는 것.

위의 식은 $\int^{\infty}_{-\infty}$일 때도 되고, 다변수 적분인${{d}\over{dt}} \int\int_{D}dxdy$일 때도 가능하다.

즉, 미분하고 적분 기호가 있을 때 적분 안에 있는 피적분 함수의 상태가 좋다면 적분 기호 안으로 미분을 삽입할 수 있는 것.