통계 기초(4) - 이산확률분포

◾슬롯머신

• 슬롯머신
  • 게임비 : $ 1
  • 달러 달러 달러 = $ 20
  • 달러 달러 체리(아무위치) = $ 15
  • 체리 체리 체리 = $ 10
  • 레몬 레몬 레몬 = $ 5
  • 확률

    달러	체리	레몬	기타
    0.1	0.2	0.2	0.5

• 달러 3개가 나올 확률
  • P(달러 달러 달러) = P(달러) P(달러) P(달러)
  • P(달러 달러 달러) = 0.1 0.1 0.1 = 0.001
• 달러 2개 체리 1개가 나올 확률
  • P(달러 달러 체리) + P(달러 체리 달러) + P(체리 달러 달러)
  • $(0.1^2 \times 0.2) + (0.1^2 \times 0.2) + (0.1^2 \times 0.2) = 0.006$
• 레몬 3개, 체리 3개가 나올 확률
  • P(레몬 레몬 레몬) == P(체리 체리 체리)
  • $0.2 \times 0.2 \times 0.2 = 0.008$
• 아무것도 당첨되지 않을 확률
  • P(losing) = 1 - (당첨확률)
  • $1 - (0.001 + 0.006 + 0.008 + 0.008) = 0.977$
• 슬롯머신 확률 분포

conbination	None	Lemons	Cherries	Dollars/Cherries	Dollars
probability	0.977	0.008	0.008	0.006	0.001

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◾이산확률분포

• 이산확률분포 : 특정 값에 대한 분포표

conbination	None	Lemons	Cherries	Dollars/Cherries	Dollars
x	-1	4	9	14	19
P(X=x)	0.977	0.008	0.008	0.006	0.001

• 기대값 : 평균값
  • $E(X) = \mu = \sum{xP(X=x)}\\ E(X)=(-1\times 0.977)+(4\times 0.008)+(9\times 0.008)+(14\times 0.006)+(19\times 0.001)\\ E(X) = -0.977+0.032+0.072+0.084+0.019=-0.77$
• 분산
  • $Var(X)=E(X-\mu )^{2}=\sum{(x-\mu)^{2}P(X=x)} = 2.6971$
• 표준편차
  • $\sigma = \sqrt{Var(X)} = 1.642$

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◾확률의 선형관계

• 슬롯머신 : 보상 5배
  • 게임비 : $ 2
  • 달러 달러 달러 = $ 100
  • 달러 달러 체리(아무위치) = $ 75
  • 체리 체리 체리 = $ 50
  • 레몬 레몬 레몬 = $ 25
  • 확률

    달러	체리	레몬	기타
    0.1	0.2	0.2	0.5

  • 확률분포

    y	-2	23	48	73	98
    P(Y = y)	0.977	0.008	0.008	0.006	0.001

  • 기댓값(expected Value, E) : 각 사건이 벌어졌을 때의 이득과 그 사건이 벌어질 확률을 곱한 것을 전체 사건에 대해 합한 값이다. 이것은 어떤 확률적 사건에 대한 평균의 의미로 생각할 수 있다. 이 경우 '모 평균'으로 다룰수있다.
    • $E(Y) = (-2) \times 0.977 + 23 \times 0.008 + 48 \times 0.008 + 73 \times 0.006 + 98 \times 0.001$
    • $E(Y) = -1.954 + 0.184 + 0.384 + 0.438 + 0.098 = -0.85$
  • 분산 계산
    • $Var(Y) = E(Y - \mu)^2 = {\sum (y-\mu)^2P(Y = y)}$
    • $(-2 + 0.85)^2 0.977 + (23+0.85)^2 0.008 + (48+0.85)^2 0.008 + (73+0.85)^2 0.006 + (98+0.85)^2 0.001$
    • $1.2920825 + 4.55058 + 19.09058 + 9.7713225 = 67.4275$
  • 두 확률 변수사이의 관계 - 선형관계
    • X = (original win) - (original cost) = (original win) - 1
      • original win = X + 1
    • Y = 5(original win) - (new cost) = 5(X+1) - 2 = 5X + 3
    • 기댓값 비교
      • E(X) = -0.77
      • $Y = 5 \times E(X) + 3 = -3.85 + 3 = -0.85$
      • $E(Y) = 5 \times E(X) + 3$
    • 분산 비교
      • Var(X) = 2.6971
      • $5 \times Var(X) = 13.4855$
      • $5^2 \times Var(X) = 67.4275$
      • $Var(Y) = 5^2 \times Var(X)$

• 선형관계에 있는 두 확률 변수의 평균과 분산
  • $E(aX+b) = aE(x) + b$
  • $Var(aX+b) = a^2 Var(X)$
• 독립관측 : 어떤 구속제약을 받지 않고 독립적인 입장에서의 관측
  • 예) 슬롯머신
  • 독립관측일 경우 여러번 관측할 때 사건의 기대치
    • $E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = nE(X)$
  • 독립관측일 경우 여러번 관측할 때 사건의 분산
    • $Var(X_1 + X_2 + ... + X_n) = nVar(X)$

• 새로운 슬롯머신
  • 확률분포

    x	-5	395
    P(X = x)	0.99	0.01

• 두 사건을 동시에 진행할 때(두 사건이 독립확률변수일 경우)
  • X와 Y를 더할 경우
    • 기댓값 : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
    • 분산 : $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$
  • X와 Y를 뺄 경우
    • 기댓값 : $E(X-Y) = E(X) - E(Y)$
    • 분산 : $Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)$
  • 선형 변환인 경우에도 적용된다.
    • 더하기
      • $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$
      • $Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)$
    • 빼기
      • $E(aX - bY) = aE(X) - bE(Y)$
      • $Var(aX - bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)$