통계 기초(3) - 확률

◾확률

• 룰렛
  • 칸 : 38
  • 1~36 : 빨강 혹은 검정
  • 0 or 00 : 초록색
  • 특정 숫자 배팅, 짝수홀수 맞추기, 색상에 배팅하기 등
  • 초록색은 게임에서 지는 것
  • 공이 멈출 수 있는 포켓(표본공간) : 38
  • 숫자 7을 위한 포켓(사건) : 1
  • 공이 7에 멈출 확률 : 1 / 38 = 0.026
• 확률 : 표본 공간에 대해 사건 A가 일어날 가능성을 의미
  • $P(A) = {n(A) \over n(S)}$
  • S : 가능한 공간(Possibility Space) 혹은 표본 공간(Sample Space)
  • A : 사건(event)
• 확률 시각화에는 벤다이어그램이 좋다.
  • 사건 A가 생길 경우와 그렇지 않은 경우로 표현
  • A, A′ : ′(프라임)
  • 사건 A가 발생하지 않을 사건 - 여사건(Complementary event
    • $P(A′) = 1 - P(A)$
• 확률은 더할 수 있다.
  • 룰렛에서 블랙이거나 레드인 경우
    • 블랙(18), 레드(18) 겹치는 경우가 없으므로 더할 수 있다.
    • P = 36 / 38 = 18 / 19
  • 검정색이 나올 확률 : 18 / 38 = 0.474
  • 짝수가 나올 확률 : 18 / 38 = 0.474
    • 두 개를 더하면 검정색이거나 짝수?? 동시에 발생하는 경우가 있으므로 단순히 더할 수 없다.
  • 검정색이거나 짝수가 나올 확률 : 26 / 38 = 0.684
• 배반사건(exclusive events) : 두 사건 중 하나만 발생하는 경우(단순히 더할 수 있다.)
• 교집합이 있는 경우 : 단순히 더할 수 없다.
  • 겹쳐지는 경우를 빼야한다.
  • 검정이며 짝수인 경우 : 10
  • 검정이거나 짝수가 나올 확률 : (36 - 10) / 38 = 26 / 38 = 0.684
• 교집합(intersection) : $\cap$
• 합집합(union) : $\cup$

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◾조건부 확률

• 검정색이며 짝수인 경우
• 조건부확률(conditional probability) : 주어진 사건이 일어났다는 가정 하에 다른 한 사건이 일어날 확률
  • P(A at B) => $P(A|B)$ : B가 일어났을 때 A가 일어날 확률
  • $P(A|B) = {P(A \cap B) \over P(B)}$
  • 조건부확률을 시각화하는 도구 확률트리
    
  • $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B')$

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◾베이즈 정리와 독립 사건

• 전확률의 법칙(Total Probability)
• B를 기준으로 만든 확률 트리에서 A의 확률 구하기
  
  • $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B')$
  • $P(A \cap B) = P(A | B) \times P(B)$
  • $P(A \cap B') = P(A | B') \times P(B')$
  • $P(A) = P(A | B) \times P(B) + P(A | B') \times P(B')$
• 베이즈 정리(Bayes' theorem) : A일때 B일 확률에서 B일때 A의 확률을 구하는 방법
  • $P(A|B) = {{ P(A) \times P(B|A)} \over {P(A) \times P(B|A) + P(A') \times P(B|A') }}$
  • 모든 경우의 수의 확률을 모를 때 뒤집힌 조건부확률을 구하는 유용한 방법
• 독립 사건 : 두 사건 중 한 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 주지 않을 경우에 서로 독립 사건이라한다.
  • 서로의 조건부 확률에 영향을 주지 않는다.
  • 독립사건일 경우 : $P(A|B) = P(A)$
  • $P(A|B) = { P(A \cap B) \over P(B) }$
  • $P(B) \times P(A|B) = P(A \cap B)$
  • $P(B) \times P(A) = P(A \cap B)$