다이나믹 프로그래밍이란?

메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법입니다.
이미 계산된 결과는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 합니다.
동적 계획법이라고도 부릅니다.

조건

다이나믹 프로그래밍은 문제가 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있습니다.

1. 최적 부분 구조 (Optimal Substructure)
   : 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제들의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있습니다.
2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)
   : 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 합니다.

문제 예시

피보나치 수열

피보나치 수열은 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있습니다.

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...

피보나치 수열을 점화식으로 나타내면 다음과 같습니다.

f(n) = f(n-1) + f(n-2), f(1) = 1, f(2) = 1

n번째 피보나치 수열을 f(n)이라 할 때 f(4)를 구하는 과정은 다음과 같습니다.

코드

def fibo(x):
	if x==1 or x==2:
		return 1
    return fibo(x-1) + fibo(x-2)

print(fibo(4))

시간 복잡도 분석

• 단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게 됩니다.
  다음과 같이 f(2)가 여러 번 호출되는 것을 확인할 수 있습니다.
  

• 피보나치 수열의 시간복잡도 : O(2^N)

메모이제이션 (Memoization)

메모이제이션은 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법으로, 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나입니다.

• 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져옵니다.
• 값을 기억해놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 합니다.

구현 방식

탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 보텀업 방식은 상향식이라고도 합니다.
다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식이고, 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부릅니다.

탑다운 코드

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션하기 위한 리스트 
d = [0]*100

def fibo(x):
	if x==1 or x==2:
    	return 1
        
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환 
    if d[x] != 0:
    	return d[x]
        
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환 
    d[x] = fibo(x-1) + fibo(x-2)
    return d[x]
    
print(fibo(99))

시간 복잡도 : O(N)

보텀업 코드

d = [0]*100

d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

for i in range(3,n+1):
	d[i] = d[i-1] + d[i-2]
    
print(d[n])