간단한 아이디어

이전 푸리에 변환을 설명하는 글 들에서 정상파와 이동하는 파동들에 대해서 간단히 설명했다. 물리는 우아한 식을 만들고 싶어해서 정상파든 이동하는 파동이든 하나의 방정식으로 나타내길 원한다.

파동의 시간의 미분방정식을 풀면 ψ(t) = Asinmt + Bcosmt
파동의 공간의 미분방정식을 풀면 φ(x) = Csinmx + Dcosmx
C와 D는 A와 B의 켤레 그리고 여러가지 초기조건을 가정해서 넣으면
파동 방정식은 u(x, t) = (Asinmt + Bcosmt)sinmx

이렇게 표현가능 하다. 어려우면 그냥 일반적인 파동이 저런 형태로 나온다고 알고만 있으면 된다.
이 일반식으로 수 많은 파동을 모두 표현하고 싶다라는 게 푸리에 해석의 아이디어다.

그럼 최종식은?

일단 파동은 선형적으로 더할 수 있다. 파동은 독립성을 유지하는 게 물리의 진리여
어떤 파동이든 파동 방정식으로 표현하고 싶으면 어떻게 할까?

일단 될 수 있는 모든 경우의 수를 합쳐놓자. 어떻게? 이렇게

일단 경우의 수를 다 더해놓고 아닌거는 Am이나 Bm을 0으로 처리하면 없어진다. 무한의 경우의 수니까 진짜 세밀하게 곱해지는 상수를 조절해서 파동을 표현 가능하다.

정리하면

푸리에 변환은 그냥 모든 경우의 수를 고려해서 필요한거 가져오고 필요없는 건 없애서 파동을 표현하는 거다. 물론 되는 경우 안되는 경우 수학적인 증명이 필요한데 인공지능에 쓰이는 현실 파동은 거의 다 되니까 걱정할 필요가 없다.