음수 간선이 포함된 상황에서의 최단 거리 문제
🔗 예시 문제 링크 : [백준] 11657번 - 타임머신
N개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 버스가 M개 있다. 각 버스는 A, B, C로 나타낼 수 있는데, A는 시작도시, B는 도착도시, C는 버스를 타고 이동하는데 걸리는 시간이다.
시간 C가 양수가 아닌 경우가 있다. C= 0인 경우는 순간 이동을 하는 경우, C< 0인 경우는 타임머신으 로 시간을 되돌아가는 경우이다. 1번 도시에서 출발해서 나머지 도시로 가는 가장 빠른 시간을 구하는 프로그램을 작성하시오.
도시의 개수: N (1 ≤ N ≤ 500)
버스 노선의 개수: M (1 ≤ M ≤ 6,000)
이 문제를 어떻게 해결할 수 있을까?
모든 간선의 비용이 양수일 때는 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 사용하면 된다.
1번 노드에서 다른 노드로 가기 위한 최소 비용은 얼마일까?
하지만 음수 간선이 포함된다면 어떻게 문제를 해결할 수 있을까?
아래 그래프에서는 음수 간선이 포함되어 있다. 하지만 여전히 최단 거리를 계산할 수 있다.
하지만 음수 간선의 순환이 포함된다면 어떻게 문제를 해결할 수 있을까?
아래 그래프에서는 음수 간선의 순환이 포함되어 있다. 이 경우 최단 거리가 음의 무한인 노드가 발생한다.
📌 Bellman-Ford 최단 경로 알고리즘
음수 간선에 관하여 최단 경로 문제는 다음과 같이 분류할 수 있다.
- 모든 간선이 양수인 경우
- 음수 간선이 있는 경우
- 음수 간선 순환은 없는 경우
- 음수 간선 순환이 있는 경우
벨만 포드 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 포함된 상황에서도 사용할 수 있다.
또한 음수 간선의 순환을 감지할 수 있다.
벨만 포드의 기본 시간 복잡도는 O(VE)로 다익스트라 알고리즘에 비해 느리다.
알고리즘 동작 과정
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출발 노드를 설정한다.
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최단 거리 테이블을 초기화한다.
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다음의 과정을 N - 1번 반복한다.
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전체 간선 E개를 하나씩 확인한다.
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각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
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만약 음수 간선 순환이 발생하는지 체크하고 싶다면 3번의 과정을 한 번 더 수행한다.
이때 최단 거리 테이블이 갱신된다면 음수 간선 순환이 존재하는 것이다.
📌 벨만 포드 VS 다익스트라
다익스트라 알고리즘
매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
음수 간선이 없다면 최적의 해를 찾을 수 있다.
벨만 포드 알고리즘
매번 모든 간선을 전부 확인한다.
따라서 다익스트라 알고리즘에서의 최적의 해를 항상 포함한다.
다익스트라 알고리즘에 비해서 시간이 오래 걸리지만 음수 간선 순환을 탐지할 수 있다.
