1. Signals and Systems

Signal

어떤 정보를 담고 있는 파형(waveform) 또는 데이터 열(sequence)

• 연속시간 신호 (continuous-time signal), x(t)
  모든 시간 t 에 대해 정의됨(연속)

• 이산시간 신호 (discrete-time signal), x[n]
  정수 인덱스 n 에서만 정의됨

Characteristic of Signal

주기 신호 : 일정한 주기 T에 대해 $x(t)=x(t+nT)$ 만족

• 가장 작은 주기 $T_0$ : 기본 주기(Fundamental period)
• 기본 주파수 $f_0$ : 1/T (Hz)
• 각주파수 $ω_0$ : 2πf (rad/s)

Even / Odd signal : 모든 신호는 짝수(우)/홀수(기)로 분해 가능

$x_e(t) = \frac{x(t)+x(-t)}{2}, x_o(t) = \frac{x(t)-x(-t)}{2}.$

Energy of Signal : 시간 경과에 따른 총 크기를 정량화하며, 유한한 에너지(Finite Energy)를 가진 신호를 분석하는 데 유용합니다.

Signal Modeling

시간영역 표현 vs 주파수영역 표현 (푸리에 변환)
ex. $x(t)=Acos(ωt+ϕ)$

System

시스템 f: 입력 x → 출력 y = f(x) (연산/필터링 등 변환).

System Modeling

물리 시스템(ex. 비디오 데이터 취득) → 회로방정식 등으로 모델링.

시간 변환(Time Transformation)

시간 이동(Time shift) : $y(t)=x(t−t_0)$ 일때,

• t >0 이면 지연(delayed),
• t <0 이면 진행(advanced)

시간 반전(Time reversal) : $y(t)=x(−t)$ (ex. 음악을 거꾸로 재생)

시간 스케일링(Time scaling) : y(t)=x(at)일때,

• ∣a∣>1 이면 시간 압축(compression),
• ∣a∣<1 이면 시간 확장(expansion)

Combination of Transformation

시간 변환 (이동,반전,스케일링) 모두 결합 가능, 순서가 중요

ex. 스케일 후 shift : $x(2(t−1))$

Amplitude Transformation

진폭 변환 : $y(t)=Ax(t)+B$

• $A < 0$ : 신호 반전
• $∣A∣$ : 진폭 스케일링을 결정
• $B$ : 진폭을 위아래로 이동

기본 신호(Basic Signals)

• 지수(Exponential) 신호
• 정현파(Sinusoidal) 신호
• 단위 임펄스 함수(Unit impulse function, Dirac delta function)
• 단위 계단 함수(Unit step function)

오일러 공식(Euler’s formula)

복소 지수 함수를 사용하여 복소 영역의 점을 표현
실수부 : 코사인파, 허수부 : 사인파
$e^{j\omega_0 t} = \cos \omega_0 t + j \sin \omega_0 t.$

복소 지수 신호의

• 실수부 : 코사인파 $cos(ωt)=\frac{e^{j\omega_t}+e^{-j\omega_t}}{2}$
• 허수부 : 사인파 $sin(ωt)=\frac{e^{j\omega_t}-e^{-j\omega_t}}{2}$

$e^{j\omega t} = \cos\omega t + j\sin\omega t$
$(e^{j\omega t})^* = e^{-j\omega t} = \cos\omega t - j\sin\omega t$

Continuous-time 사인파, 복소 지수

연속 시간 복소 지수 신호 $Ce^{at}$
: 시간에 따른 변화율이 자기 자신에 비례하는 신호

복소 지수 신호의 유형 ($Ce^{at}$)

• 일반적인 복소 지수 신호 : C와 a 모두 복소수

• 실수 지수 신호 : C와 a 모두 실수
  시간 경과에 따라 단순 증가 또는 감소하는 신호

조화적으로(Harmonically) 관련된 복소지수 신호

: 한 기본 각주파수 $ω_0$의 정수배 주파수들을 갖는 복소지수 신호 집합

$x_k(t) = A_k e^{jk\omega_0 t}, \quad k = \pm 1, \pm 2, \dots$ (k배의 frequency)

성질

• 합의 주기성
  조화 집합의 합은 주기 신호가 되며, 그 주기는 기본 주파수 $ω_0$를 갖는 사인파의 주기와 동일

일반적인 지수형 신호

$x(t) = C e^{at}; \quad C = A e^{j\phi}, \quad a = \sigma_0 + j\omega_0$

계수 C, 지수 a : 복소수

$x(t)$ 실수·허수부

$x(t) = A e^{j\phi} e^{(\sigma_0 + j\omega_0)t} = A e^{\sigma_0 t} e^{j(\omega_0 t + \phi)}$
$= \underbrace{A e^{\sigma_0 t} \cos(\omega_0 t + \phi)}_{\operatorname{Re}[x(t)]} + j \underbrace{A e^{\sigma_0 t} \sin(\omega_0 t + \phi)}_{\operatorname{Im}[x(t)]}$

→ $x(t)$ : 감쇠·성장(σ)과 진동(ω)이 결합된 감쇠/성장 사인파.

• σ>0: 진폭이 시간이 지날수록 증가
• σ<0: 진폭이 감쇠
• ω: 각주파수

discrete-time 지수·사인 신호

$x[n] = A \cos(\omega_0 n + \phi), \quad e^{j\omega_0 n} = \cos(\omega_0 n) + j \sin(\omega_0 n)$

진폭 A, 위상 ϕ는 주기성에 영향 없음.

• $x[n] = \cos\left(\frac{2\pi}{12}n\right)$ : 12샘플마다 한 주기.
• $x[n] = \cos\left(\frac{8\pi}{31}n\right)$ : 31샘플마다 한 주기.

이산 복소지수의 주기성 조건

주기 N가 존재하면 $x[n]=x[n+N]$
$N = m \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right).$
(m은 정수)

• $x_1[n] = \sin\left(\frac{1}{7}\pi n\right)$
  $ω_0=π/7⇒ ω/(2π)=1/14⇒N_0=14$ (주기적)

• $x_2[n] = \sin\left(\frac{1}{7}n\right)$
  $ω_0/(2π)=1/(14π) - π$ 가 무리수이므로 ⇒ 주기 함수 아님

Discrete-Time Unit Impulse (단위 임펄스) δ[n]

샘플링 성질

• $x[n]δ[n−n_0​]=x[n_0​]δ[n−n_0​]$
  신호 x[n]의 $n_0​$번째 값을 뽑아줌

분해 성질

• $x[n] = \sum_{k} x[k] \delta[n - k]$
  여러 개의 임펄스를 더해 임의의 이산 신호를 재구성.

Discrete-Time Unit Step (단위 스텝) u[n]

$u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$

n=0 부터 계속 1인 계단 신호

이산 단위 임펄스 δ[n] 와 단위 스텝 u[n] 의 관계

• 차분 관계
  $\delta[n] = u[n] - u[n - 1]$
  스텝 신호가 n=0에서 0→1로 ‘한 칸 점프’ 하는 변화량 = 임펄스

• 누적 관계(1)
  $u[n] = \sum_{m=-\infty}^{n} \delta[m]$
  n까지 등장한 임펄스들을 누적

• 누적 관계(2)
  $u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n - k]$
  시프트된 임펄스들의 무한합

샘플링 성질

• $x[n]\delta[n] = x[0]\delta[n].$
  δ[n]이 n=0에서만 1이므로 x[0]만 ‘뽑힘’

• $x[n]\delta[n - n_0] = x[n_0]\delta[n - n_0].$
  $n=n_0$ 에서만 값을 골라낸다 → 인덱스 선택기.