2. Linear Time-Invariant Systems

Basic System Properties

• 가역성(Invertibility)
  입력이 고유한 출력으로 이어지는 경우 시스템은 가역적,
  역 시스템(Inverse system) 존재

• 메모리(Memory)
  현재 출력이 과거 입력에 의존

• Feedback
  과거 출력이 현재에 영향
  

• Interconnection
  시스템 간 연결

• 인과성(Causality)
  출력이 현재 및 과거 시간의 입력 값에만 의존하는 경우

↔︎ 비인과적 시스템(Non-causal system)
ex. 이동 평균(Moving average) : window 이동

• 안정성(Stability, BIBO)
  bounded input에 대해 bounded output이 나오는 시스템

• 시불변성(Time Invariance)
  시간이 지나도 고정되어 있어,
  입력 신호의 시간 이동$(x(t)→x(t−t_0))$ 이 출력 신호에
  동일한 시간 이동 $(y(t) \to y(t - t_0))$만을 야기하는 경우

• 선형성(Linearity)
  입력 신호가 여러 신호($x_1(t),x_2(t)$ 등)의 가중 합으로 구성될 경우,
  출력 역시 각 신호에 대한 시스템 응답($y_1(t),y_2(t)$ 등)의 가중 합

Discrete-time LTI System

임펄스를 통한 신호 표현

이산 시간 신호 x[n]은
이동된 단위 임펄스 함수($\delta[n-k]$)의 가중 선형 결합으로 표현 가능.
가중치= $x[k]$

임펄스 응답 (Impulse Response, h[n])

h[n] : 선형 시스템이 단위 임펄스 $\delta[n]$에 반응하는 응답

$δ[n]$ → $h[n]$
$δ[n−k]$ → $h[n−k]$

이산시간 LTI 시스템의 출력

= 입력과 임펄스응답의 선형 컨볼루션 (y=x∗h)

• 입력의 임펄스 분해:
  $x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\delta[n - k]$

• 출력:
  $y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k] = (x * h)[n]$

컨볼루션 계산 방법:
1. 임펄스 응답 함수 h[k]를 뒤집어 h[−k]를 얻음
2. h[−k]를 n만큼 이동시켜 h[n−k]를 얻음
3. x[k]와 h[n−k]를 곱함
4. k∈(−∞,∞)에 걸쳐 모든 곱셈 결과를 합산하여 y[n]을 계산

Continuous-time LTI System

h(t) : 연속 시간 LTI 시스템의 임펄스 응답 함수.
= 단위 임펄스 δ(t)에 대한 시스템의 응답

연속시간 LTI 시스템의 출력

= 입력과 임펄스응답의 컨볼루션 적분

임펄스응답 h(t): δ(t)를 입력했을 때의 출력.

• 입력 분해(임펄스 분해):
  $y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau = (x * h)(t)$

• 컨볼루션 적분
  $x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t - \tau) d\tau$

컨볼루션 계산 방법:
1. 임펄스 응답 함수 h(τ)를 뒤집어 h(−τ)를 얻음
2. h(−τ)를 t만큼 이동시켜 h(t−τ)를 얻음
3. x(τ)와 h(t−τ)를 곱함

LTI 시스템의 속성

• 교환 속성(Commutative Property)
  $x∗h=h∗x, h_1∗h_2=h_2∗h_1$
  두 LTI를 직렬로 놓을 때 순서를 바꿔도 전체 시스템이 동일.

• 분배 속성(Distribute Property)
  $x * (h_1 + h_2) = (x * h_1) + (x * h_2),$
  $(x_1 + x_2) * h = (x_1 * h) + (x_2 * h)$

• 결합 속성(Associative Property)
  $x∗(h_1∗h_2)=(x∗h_1)∗h_2=(x∗h_2)∗h_1$
  직렬 연결은 한 시스템으로 합칠 수 있음.

LTI 시스템의 안정성 (Stability)

정의: 현재 출력은 현재·과거 입력에만 의존해야 함.

필요충분 조건:

• DT: h[n]=0 for n<0
• CT: h(t)=0 for t<0

컨볼루션 범위가 줄어듦

• DT:
  $y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k] h[n-k] = \sum_{k=0}^{\infty} h[k] x[n-k]$

• CT:
  $y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau) h(t-\tau) d\tau = \int_{0}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) d\tau$

LTI 시스템의 인과성 (Causality)

필요충분 조건:
$∣x∣$가 bounded in magnitude 이면 $∣y∣$도 bounded in magnitude

• DT:
  $\sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]| < \infty$

• CT:
  $\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt < \infty$

단위 계단 응답 (Unit Step Response, s)

스텝 응답 s: LTI 시스템에 Unit Step을 넣었을 때의 출력

• DT: $s[n]=(u∗h)[n]$
• CT: $s(t)=(u∗h)(t)$

s 와 h의 관계

• DT:
  $s[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} h[k]$

• CT:
  $s(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\tau) d\tau$

선형 미분 방정식 (Linear Differential Equation)

for 연속 시간(Continuous-Time) LTI 시스템

$\sum_{k=0}^{N} a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k} = \sum_{k=0}^{M} b_k \frac{d^k x(t)}{dt^k}$

$x(t)$는 입력 신호, $y(t)$는 출력 신호

선형 차분 방정식 (Linear Difference Equation)

for 이산 시간(Discrete-Time) LTI 시스템

$y[n] = \frac{1}{a_0} \left[ \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k] - \sum_{k=1}^{N} a_k y[n-k] \right]$

$x[n]$은 입력 시퀀스, $y[n]$은 출력 시퀀스