3. Fourier Signal Representation of Periodic Signals

Time-Frequency Representation of a Signal

시간영역: 파형이 시간에 따라 어떻게 변하는지
주파수영역: 신호 에너지가 주파수 성분에 어떻게 분포하는지

Visualization of Time and Frequency Representation

연속 시간 주기 신호의 푸리에 급수

$x(t)=x(t+T_0)$. 기본주파수 $ω_0$

x(t)를 복소지수 $e^{jkω_0t}$들의 선형결합으로 표현 가능.

주파수 성분($a_k$) → 시간 신호($x(t)$) 합성

$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$

시간 신호($x(t)$) → 주파수 성분($a_k$) 변환

$a_k = \frac{1}{T_0} \int_{t_0}^{t_0+T_0} x(t) e^{-jk\omega_0 t} dt$

$a_k$ : 기본조파 $ω_0$의 k번째 고조파에 들어 있는 위상

$a_0 = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} x(t) dt,$
$a_1 = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} x(t) e^{-j\omega_0 t} dt,$
$a_2 = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} x(t) e^{-j2\omega_0 t} dt, \dots$

푸리에 계수

푸리에 급수 기본함수의 직교성
: 푸리에 급수의 고조파 성분 $e^{jk\omega_0 t}$와 $e^{jm\omega_0 t}$은 한 주기 $(0,T_0)$ 에 걸쳐 직교

$\int_{0}^{T_0} e^{jk\omega_0 t} e^{-jm\omega_0 t} dt = \int_{0}^{T_0} e^{j(k-m)\omega_0 t} dt = \begin{cases} T_0, & k = m \\ 0, & k \neq m \end{cases}$

적분 구간은 ‘아무 한 주기’면 됨.
$\int_{0}^{T_0} x(t) e^{-jk\omega_0 t} dt = \int_{t_1}^{t_1+T_0} x(t) e^{-jk\omega_0 t} dt$

선형성 및 시간 변환

선형성 (Linearity)

: 동일한 주기 T를 가진 두 주기 신호 x(t)와 y(t)의 선형 결합에 대해 성립

예제 3.3: $x(t) = \sin(\omega_0 t)$

오일러 공식

$\sin(\theta) = \frac{1}{2j}(e^{j\theta} - e^{-j\theta})$
$\cos(\theta) = \frac{1}{2}(e^{j\theta} + e^{-j\theta})$
$x_e(t) = \frac{x(t)+x(-t)}{2}, x_o(t) = \frac{x(t)-x(-t)}{2}.$

1. 변환: $x(t) = \sin(\omega_0 t) = \frac{1}{2j}e^{j\omega_0 t} - \frac{1}{2j}e^{-j\omega_0 t}$
2. 정리: $x(t) = \left(-\frac{1}{2j}\right)e^{j(-1)\omega_0 t} + (0)e^{j(0)\omega_0 t} + \left(\frac{1}{2j}\right)e^{j(1)\omega_0 t}$
3. 푸리에 급수의 기본 정의와 1:1로 계수 비교 ($\mathbf{a_k}$):
   • $k = 1$일 때: $a_1 e^{j(1)\omega_0 t}$ = $\left(\frac{1}{2j}\right) e^{j(1)\omega_0 t}$
   • $k = -1$일 때: $a_{-1} e^{j(-1)\omega_0 t}$ = $\left(-\frac{1}{2j}\right) e^{j(-1)\omega_0 t}$
   • 그 외 모든 $k$ ($k \neq 1, -1$)일 때: $a_k = 0$

예제 3.5: 주기적인 사각파 신호 $x(t)$의 푸리에 급수

신호 $x(t)$
: 주기가 T이고, 한 주기 내에서 $−T_1$부터 $T_1$까지만 값 1을 갖는 사각파

$a_k$ : 푸리에 급수 분석 공식을 통해 적분

$a_k = \frac{1}{T} \int_{-T_1}^{T_1} e^{-jk\omega_0 t} dt = - \frac{1}{jk\omega_0 T} \left[ e^{-jk\omega_0 t} \right]_{-T_1}^{T_1}$

$a_k = \frac{2}{k\omega_0 T} \left[ \frac{e^{jk\omega_0 T_1} - e^{-jk\omega_0 T_1}}{2j} \right] = \frac{2 \sin(k\omega_0 T_1)}{k\omega_0 T} = \frac{\sin(k\omega_0 T_1)}{k\pi}, \quad k \neq 0$

계수 $a_k$를 다시 합쳐서 원래의 사각파 신호 $x(t)$를 복원

N이 증가할 때:

• (a) N=1: 1차 고조파(sin파)만 사용.
• (b) N=3, (c) N=7, (d) N=19: 더 많은 고조파를 더할수록,
  복원된 신호는 원래의 사각파 모양에 가까워짐

N이 아무리 커져도, overshoot와 undershoot가 사라지지 않음
→ 깁스 현상 (Gibbs Phenomenon)

Continuous-Time 푸리에급수의 대표 성질

Linearity (선형성)

두 주기신호 $x(t) \leftrightarrow a_k, \quad y(t) \leftrightarrow b_k$ 가 같은 주기 $T_0$ 라면
$z(t) = A x(t) + B y(t) \quad \iff \quad c_k = A a_k + B b_k.$

: 신호 합치면 스펙트럼도 같은 비율로 합쳐짐.

Time shift (시간 이동)

만약 $y(t) = x(t - t_0)$ 이면, $b_k = a_k e^{-jk\omega_0 t_0} \quad \left(\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}\right)$

: 크기 $∣b_k∣=∣a_k∣$는 그대로, 위상만 $e^{-jk\omega_0 t_0}$ 만큼 선형적으로 이동

Time reversal (시간반전)

$y(t)=x(−t)$ 이면, $b_k=a_{−k}$

• x(t)가 짝함수이면 $a_k=a_{−k}$
• x(t)가 홀함수이면 $a_k=-a_{−k}$

Time scaling (시간스케일 변화)

$y(t)=x(αt)$ (α>0 가정)이면 y의 주기는 $T_0/α$,
기본 각주파수는 $αω_0$

Multiplication (시간영역 곱셈)

두 주기신호 $x(t) \leftrightarrow a_k, \quad y(t) \leftrightarrow b_k$ 가 같은 주기 $T_0$ 라면

$z(t) = x(t) y(t) \quad \iff \quad c_k = \sum_{\ell=-\infty}^{\infty} a_{\ell} b_{k-\ell}$

Conjugation property (켤레/실수 신호의 대칭성)

$x(t)↔a_k$ 이면, $x^*(t)↔a^*_{-k}$

x(t)가 실수이면 $a^*_{-k}=a_k$

Parseval Theorem (평균전력 보존)

한 주기 평균전력(또는 단위시간당 에너지)이 시간/주파수에서 동일:

$\frac{1}{T_0} \int_{T_0} |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k|^2$

주기적인 임펄스 열 신호의 푸리에 급수 계수 구하기

신호 x(t): 주기가 T인 디랙 델타 함수(임펄스)의 무한한 나열

푸리에 급수 계수 $a_k$ 계산 표준 공식

적분은 한 주기(T) 동안만 수행하면 됨.

적분 구간 [−T/2,T/2] 안에서,
$x(t)$의 무한한 임펄스 열 중 오직 t=0 지점의 δ(t) 하나만 포함됨.
따라서 적분 식은 :

δ(t) 함수와 어떤 함수 $f(t)$를 곱해서 적분하면,
δ(t)가 존재하는 지점에서의 f(t) 값만 뽑아냄

따라서 적분 값은

→ 시간 영역에서 주기적인 임펄스 열 신호를
주파수 영역으로 변환(푸리에 급수)하면,
그 계수 $a_k$는 모든 k에 대해 $\frac{1}{T}$라는 일정한 상수 값을 가짐

이산 시간 주기 신호의 푸리에 급수

푸리에 급수
: 주기가 N인 이산 시간 신호 x[n]를
시간 영역($x[n]$)과 주파수 영역($a_k$) 사이에서 서로 변환

이산 시간(Discrete-Time)의 핵심 특징: 주기성

신호를 구성하는 기본 복소 지수 함수 $\phi_k[n] = e^{jk(2\pi/N)n}$는
주파수 인덱스 k에 대해서도 주기가 N.

→ k=0일 때의 신호와 k=N일 때의 신호가 동일.
때문에 푸리에 급수 계수 $a_k$ 역시 주기가 N.

주기성 때문에, 무한히 더하고 적분하는 연속 시간과 달리,
이산 시간 푸리에 급수는 N개의 항에 대해서만 합을 구하면 됨

• 합성 (Synthesis) 공식 (주파수 → 시간)
  $a_k$를 알고 있을 때 $x[n]$을 구하는 방법
  $x[n] = \sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{jk(2\pi/N)n}$

• 분석 (Analysis) 공식 (시간 → 주파수)
  $x[n]$을 알고 있을 때 $a_k$를 구하는 방법
  $a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=\langle N \rangle} x[n] e^{-jk(2\pi/N)n}$