🔔 문제
오늘 동빈이는 여행 가신 부모님을 대신해서 떡집 일을 하기로 했다. 오늘은 떡볶이 떡을 만드는 날이다. 동빈이네 떡볶이 떡은 재밌게도 떡볶이 떡의 길이가 일정하지 않다. 대신에 한 봉지 안에 들어가는 떡의 총 길이는 절단기로 잘라서 맞춰준다.
절단기에 높이(H)를 지정하면 줄지어진 떡을 한 번에 절단한다. 높이가 H보다 긴 떡은 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 떡은 잘리지 않는다.
예를 들어 높이가 19, 14, 10, 17cm인 떡이 나란히 있고 절단기 높이를 15cm로 지정하면 자른 뒤 떡의 높이는 15, 14, 10, 15cm가 될 것이다. 잘린 떡의 길이는 차례대로 4, 0, 0, 2cm이다. 손님은 6cm만큼의 길이를 가져간다.
손님이 왔을 때 요청한 총 길이가 M일 때 적어도 M만큼의 떡을 얻기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
- 첫째 줄에 떡의 개수 N과 요청한 떡의 길이 M이 주어진다. (1<=N<=1,000,000 1<=M<=2,000,000,000)
- 둘째 줄에는 떡의 개별 높이가 주어진다. 떡 높이의 총합은 항상 M 이상이므로, 손님은 필요한 양만큼 떡을 사갈 수 있다. 높이는 10억보다 작거나 같은 양의 정수 또는 0이다.
출력
- 적어도 M만큼의 떡을 집에 가져가기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 출력한다.
🎯 풀이방법
전형적인 이진 탐색 문제이자, 파라메트릭 서치 유형의 문제이다. 파라메트릭 서치는 최적화 문제를 결정 문제로 바꾸어 해결하는 기법이다. 원하는 조건을 만족하는 가장 알맞은 값을 찾는 문제에 주로 파라메트릭 서치를 사용한다. 이 문제의 풀이 아이디어는 의외로 간단한데 적절한 높이를 찾을 때까지 절단기의 높이 H를 반복해서 조정하는 것이다. 그래서 '현재 이 높이로 자르면 조건을 만족할 수 있는가?'를 확인한 뒤에 조건의 만족 여부('예' 혹은 '아니오')에 따라서 탐색 범위를 좁혀서 해결할 수 있다. 범위를 좁힐 때는 이진 탐색의 원리를 이용하여 절반씩 탐색 범위를 좁혀 나간다. 절단기의 높이(탐색 범위)는 1부터 10억까지의 정수 중 하나인데, 이처럼 큰 수를 보면 당연하다는듯이 가장 먼저 이진 탐색을 떠올려야 한다. 이 문제에서 절단기의 높이 범위가 한정적이었다면 순차 탐색으로도 해결할 수 있지만, 현재 문제에서 절단기의 높이는 최대 10억까지의 정수이므로 순차 탐색은 분명 시간 초과를 받을 것이다.
반면에 높이 H를 이진 탐색으로 찾는다면, 대략 31번 만에 경우의 수를 모두 고려할 수 있다. 이때 떡의 개수 N이 최대 100만 개이므로 이진 탐색으로 절단기의 높이 H를 바꾸면서, 바꿀 때마다 모든 떡을 체크하는 경우 대략 최대 3,000만 번 정도의 연산으로 문제를 풀 수 있다.
💻 python code
n, m = map(int, input().split())
height = sorted(list(map(int, input().split())))
start = 0
end = max(height)
result = 0
while start <= end:
total = 0
mid = (start + end) // 2
for i in height:
if i > mid:
total += i - mid
if total < m:
end = mid - 1
else:
result = mid
start = mid + 1
print(result)