Statistics - 확률과 셈 원리 (Probability and Counting)

확률과 통계

• 확률 : 오랜시간동안 쌓아온 경험적인 확률인식을 바탕으로 이론화 한것
  1. 수학적 확률 : 어떤 사람이 계산하던지간에 동일한 값으로 계산되는 확률
  2. 통계적 확률 : 동일조건&독립적으로 무한반복했을 때 발생하는 확률
  3. 주관적 확률 : 관찰자의 주관에 따라 다르게 표현되는 확률
  
• 통계 : 자료를 수집한 뒤, 분석,해석 및 표현을 다루는 수학의 분야 중 하나

확률론의 활용영역:

• 유전학, 물리학, 계랑경제학, 금융, 역사학, 정치
• 인문학, 사회과학계에서도 중요도와 활용이 늘어나고 있음
• 도박과 게임 - 통계에서 여러 번 연구된 주제이다(페르마, 파스칼)
• 인생 전반: (수학이 활실성에 대한 학문이라면,) 확률은 불확실성(uncertainty)을 계량화하는 것을 가능하게 해 준다.

표본공간 (Sample space)

• 시행에서 발생 가능한 모든 경우의 집합 (S라고 표현하고 나타냄 )
  • 즉 , 통계적 실험에서 발생가능한 모든 결과들의 집합
  • 두 개의 동전을 던지는 실험에서 앞면과 뒷면이 나오는 표본공간은 S = {앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤}

사건

• 표본공간은 모든 결과의 집합을 나타내기 때문에, 이 결과들을 가지고 부분집합을 만들 수 있다.
• "표본공간의 부분집합"
  1. 전사건(total event) : 표본공간 S의 모든 원소를 포함하는 사건. 2. 공사건(null event) : 표본공간 S의 어떤 원소도 포함하지 않는 사건. 3. 여사건(complementary event) : 포본공간 S의 사건 E에 속하지 않는 S의 모든 원소들의 집합인 사건 4. 합사건(union event) : 두 사건 E와 F에 대하여 E 또는 F 중 적어도 한 쪽은 일어나는 사건 5. 곱사건(intersection event) : 두 사건 E와 F에 대하여 E와 F가 동시에 일어나는 사건 6. 배반사건(mutually exclusive event) : 두 사건 E와 F에 대하여 E와 F 중 한 쪽이 일어나면 다른 쪽은 일어나지 않을 때, E와 F는 서로 배반이라 한다.(서로 공통부분이 없다.)
  

셈 원리(곱의 법칙)(Counting Principle)

• 사건 A가 일어날 수 있는 경우의 수(m), 사건B가 일어날 수 있는 경우의 수(n)가 있을 때, 사건A가 일어날 경우 각각에 대해서 사건 B가 일어나는 경우의 수를 말한다. 사건A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수를 m×n로 구한다.

예를 들어 동전을 던지는 사건 A1에 대하여 동전을 던지면 나올 수 있는 가지수는 앞, 뒤이므로 2가지 입니다. 따라서 n1=2 가 되는 것이죠. 이제 주사위를 던지는 사건 A2에 대하여 발생할 수 있는 가지수는 총 6가지 이므로, n2=6 이 됩니다.
이때, 동전 한 개와 주사위 한 개를 동시에 던졌을 때 발생할 수 있는 경우의 수는 사건 A1과 A2가 동시에 발생했다는 의미이고, 이때 각각의 경우의 수는 n1=2, n2=6 입니다. 따라서 동전 한 개와 주사위 한 개를 동시에 던졌을 때 발생하는 경우의 수는 n1×n2 = 2×6 = 12 가 됩니다.

기댓값이랑 뭐가 다른가 ?

• 기댓값

  • 기대되는 예측치들의 평균값 = 확률분포의 개념이 포함된 평균

  • 주사위의 기댓값은 3.5 ⇒ 주사위 돌리면 평균적으로 3.5라는 값이 나올것이라고 기대 할 수 있다.

    

이항계수(Binomial Coefficient):

• 예를들어 23개의 집합에서 11개를 선택하는 조합의 수
  ⇒ 축구 감독이 엔트리 23명중 11명을 선택하는 조합의 수 C(23,11)
  - N개의 집합에서 K개를 선택하는 조합의 수
  - 복원추출(보고 다시 넣기)과 비 복원 추출(보고 다시 안넣기 : 로또 추첨 같이)로 나누면 아래와 같다.
  

• 여기서 K는 N 보다 크지 않다.
  

조합 (Combination)