하삼각 행렬의 역행렬이 하삼각 행렬임을 증명

아래 증명은 $n\times n$ 가역(역행렬이 존재하는) 하삼각행렬 $L$에 대하여 그 역행렬 $L^{-1}$도 하삼각행렬임을 보입니다.

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1. 정의

$L=[\ell_{ij}]$이 하삼각행렬이란

역행렬 $L^{-1}=[m_{ij}]$는

여기서 $\delta_{ij}=1$ if $i=j$, else $0$.

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2. $L^{-1}$의 상삼각(위쪽) 원소가 0임을 보이기

역행렬이 하삼각이려면,

임을 보여야 합니다.

$i<j$일 때, $ (L\,L^{-1}){ij}=\delta{ij}=0$이므로

• $L$이 하삼각이므로 $\ell_{ik}=0$ whenever $i<k$.
• 따라서 합에서 기여 가능한 항은 $k\le i$인 경우뿐입니다.

즉

하지만 여기서 $k\le i < j$이므로 각 $m_{kj}$는 “$k<j$” 형태이고, 이들을 아직 모릅니다.
이를 역순 인덱스로 차례차례 풀어보면:

1. $i=1$일 때:

   $0 = \sum_{k=1}^1 \ell_{1k}m_{kj} = \ell_{11}\,m_{1j}.$

   가역성이므로 $\ell_{11}\neq0$이므로 $m_{1j}=0$.

2. $i=2$일 때:

   $0 = \ell_{21}\,m_{1j} + \ell_{22}\,m_{2j}.$

   이미 $m_{1j}=0$이고 $\ell_{22}\neq0$이므로 $m_{2j}=0$.

3. 일반 $i$에 대해 귀납적으로,

   $0 = \sum_{k=1}^{i} \ell_{ik}\,m_{kj} = \underbrace{\sum_{k=1}^{i-1} \ell_{ik}\,m_{kj}}_{=0\text{ by inductive step}} + \ell_{ii}\,m_{ij}.$

   가역성으로 $\ell_{ii}\neq0$이므로 $m_{ij}=0$.

이로써 모든 $i<j$에 대해 $m_{ij}=0$임이 증명되었습니다.

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3. 결론

• 가역 하삼각행렬 $L$의 대각성분 $\ell_{ii}\neq0$.
• $L\,L^{-1}=I$에서 위쪽 원소식($i<j$)을 보면 차례차례 $m_{ij}=0$이 되어야 함.
• 따라서 $L^{-1}$ 역시 모든 $i<j$ 위치가 0인 하삼각행렬이다. $\blacksquare$