수의 구조

수의 시각화

왜 수에 대해 알아야 하는가?

• 게엠 세계는 벡터로 구성한 탄탄한 시스템
• 이 시스템 위에서 콘텐츠를 완성
• 벡터는 수를 사용해 만들어진 대상이므로, 벡터를 정확히 이해하기 위해서는 결국 수가 만들어내는 시스템에 대해 이해가 필요

수 (Numbers)의 종류

• 수는 물건을 세는 것에서 출발해 다양한 개념으로 확대
• 다양한 수의 개념이 존재하며 각각은 대문자를 사용해 집합으로 구분해 부름

출처 : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venn_Diagram_of_Numbers_Expanded.svg

실수 집합 (The set of real numbers) R

• 실수 집합 R은 수 사이에 빈큼이 없는 연속된 무한의 요소로 구성된 수의 집합

수 직선 (Number Line)

• 실수 집합 R의 요소를 점으로 나열하면 연속성 있는 직선으로 표현 가능

수의 표현

• 하나의 체계에서 대소를 비교해 나열하는 방식
  

• 원점을 기준으로 양수와 음수의 두 체계로 나누고 크기와 방향을 사용해 표현하는 방식을 사용

• 크기 = $|x|$
• 방향

이항 연산 (Binary Operation)

• 집합 (Set)의 정이 : 원소 (Element)의 묶음(Collection)
• 수 집합이 일반적인 집합과 다른 점 : 연산이 존재

출처 : https://zetawiki.com/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%AD%EC%97%B0%EC%82%B0#google_vignette

사칙 연산의 재구성

• 뺄셈도 덧셈, 나눗셈 또한 곱셈으로 대체해 표현이 가능

  $5-3=5+(-3) \\ 5\div3=5\times \frac{1}{3}$

곱셈의 표기

• 일상 생활에서는 x 기호를 사용하지만 복잡한 수식 전개 시 편의를 위해 · 사용

덧셈의 연산 (Addition)의 시각화

• 덧셈 연산은 점을 평행 이동시키는 연산

곱셈 연산 (Multiplication)의 시각화

• 곱셈 연산은 원점을 중심으로 점의 크기와 방향을 조절하는 연산

이항 연산의 성질

• 수 집합과 수 집합의 연산 체계를 포괄하는 개념

이항 연산의 성질

• 교환 볍칙 (Commutativity) : $a · b = b · a$
• 결합 법칙 (Associativity) : $(a · b) · c = a · (b · c)$
• 분배 법칙 (Distributivity) : $a · (b + c) = a · b + a · c = b · a + c · a$

항등원(Identity)

• 임의의 요소에 대해 이항 연산에서 동일한 결과 값이 나오게 하는 요소
• 연산에 대한 항등원은 b

• 덧셈의 항등원 : $a + 0 = a$
• 곱셈의 항등원 : $a · 1 = a$

역원 (Inverse)

• 연산에 대한 항등원을 b라 할 때 · 연산에 대한 a의 역원은 c

• 덧셈의 역원 : $a + -a = 0$, 덧셈의 역원 => 반수(Opposite Number)
• 곱셈의 역원 : $$a\cdot \frac{1}{a} = 1, a\ne 0$, 곱셈의 역원 => 역수(Reciprocal)
• 뻴셈은 덧셈의 역원을 더하는 연산 : $a - b = a + (-b)$
• 뻴셈은 교환법칙이 성립하지 않지만, 덧셈은 교환 법칙이 성립
  • $a - b ≠ b - a$
  • $a + (-b) ≠ (-b) + a$
• 나눗셈은 곱셈의 역원을 곱하는 연산 : $a\div b = a\cdot \frac{1}{b}$
  • 사칙 연산에서 뺄셈과 나눗셈을 제하고 덧셈과 곱셈으로 연산의 구조 분석

체 (Field)의 공리 (Axiom)

• 공리 : 이론 체계에서 증명이 필요 없는 가장 기초적인 명제
• 공리를 사용해 다양한 수의 구조를 정의

군 (Group)의 공리

• 첫번째 연산에 대해 다음의 공리를 만족하는 수의 체계

1. 덧셈 연산에 대해 닫힘 (Closure)

2. 덧셈 연산은 결합법칙을 만족 (Associativity)

3. 덧셈 연산의 항등원이 존재 (Identity element)

4. 덧셈 연산의 역원이 존재 (Inverse element)

   $(\mathbb{R},+)$

아벨 군 (Abelian Group)

1. 덧셈 연산은 교환법칙을 만족 (Commutativity)

환(Ring)의 공리

• 첫번째와 두번째 연산에 대해 다음의 공리를 만족하는 수의 체계

1. 곱셈 연산에 대해 닫힘 (Closure)

2. 곱셈 연산은 결합 법칙을 만족 (Associativity)

3. 덧셈과 곱셈 연산은 분배 법칙을 만족 (Distributivity)

   $(\mathbb{R},+, \cdot)$

가환환 (Commutative Ring)

1. 곱셈 연산은 교환 법칙을 만족 (Commutativity)
2. 곱셈 연산의 항등원이 존재 (Identitiy element)

• 환의 구조에서 두번째 연산에 대해 교환 법칙을 만족하고 곱셈 연산의 항등원이 존재하는 특수한 환

체 (Field)의 공리

• 곱셈의 역원이 존재하는 수의 구조

1. 0을 제외한 모든 원소에 대해 곱셈 연산의 역원이 존재 (Inverse element)

=> 덧셈과 곱셈 연산에 대해 교환, 결합, 분배 법칙을 만족하고 항등원과 역원이 존재하는 수의 구조
=> 사칙 연산에 닫혀 있고 자유롭게 연산 순서를 적용할 수 있는 수의 구조
=> 체의 구조를 만족하는 수 집합으로는 유리수 (Q), 실수 (R), 복소수 (C) 가 있음

• 실질적으로 수를 다룰 때 대부분 실수를 사용하지만, 이론적인 체계에서는 체의 구조를 가진 수 집합을 사용한다고 표현하는 것이 명확하고 확장 가능성이 높아짐.
• 체 집합은 F로 표현하고 체 집합의 원소를 스칼라(Scalar)라고 함.

수와 연산의 추상화

$a + b$

1. 실수 a와 실수 b를 더한다 : 사칙 연산을 자유롭게 사용할 수 있으나 하나의 수 체계만 사용
2. 스칼라 a와 스칼라 b를 더한다 : 체의 성질을 만족하는 모든 수 집합 (유리수, 실수, 복소수)에 대해 포괄적으로 사용 가능

=> 범용적인 수와 연산 시스템을 규정하는 체의 기반 위에서 새로운 시스템으로 확장