14강 - 위치, 척도 및 무의식적인 통계학자의 법칙

MostlyFor·2023년 1월 9일

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해당 내용은 아래 강좌를 정리한 내용입니다.
https://www.edwith.org/ai152

학습목표

분산의 특성을 이해하고, 정규분포, 이항분포, 포아송분포의 평균과 분산을 구할 수 있다.

핵심 키워드

E(X^n): n차~적률

Let~ X=\mu+\sigma Z,~ \mu \in R,\sigma>0 \\ Then~X \sim N(\mu,\sigma^2) \\ E(X)=\mu ~(\because E(Z)=0), \\ V(X)=V(\mu+\sigma Z)=V(\sigma Z)=\sigma^2V( Z) =\sigma^2

어떤 확률변수 X가 표준정규분포와 다음과 같은 관계를 가지면 X는 평균이 mu이고 표준편차가 sigma인 정규분포를 이룬다.

이를 이용하여 X를 표준정규분포화 시킬 수 있다. 이를 표준화라한다.

표준화(standardization)

Z = \frac{X-\mu}{\sigma}

표준화를 이용하면 일반정규분포의 cdf와 pdf를 쉽게 구할 수 있음.

일반정규분포의 cdf (X~N(\mu, \sigma^2)

CDF:P(X\leq x)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}\le \frac{x-\mu}{\sigma}) \\ =P(Z\le \frac{x-\mu}{\sigma}) =\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})

위 부등식에서 좌변은 표준정규분포 z임

pdf cdf를 미분하면 되므로 chain rule에 따라 표준정규분포 pdf * 1/ \sigma임.

\Phi'(\frac{x-\mu}{\sigma})=f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}{e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}}

계산해보면 \lambda가 나옴. 특이하게 평균과 분산값이 같음.

이항분포의 분산

지시확률변수를 이용하여 증명가능 npq

확률론