16강 - 지수분포 ( Exponential Distribution) (기하분포의 연속 형태)

MostlyFor·2023년 1월 9일

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해당 내용은 아래 강좌를 정리한 내용입니다.
https://www.edwith.org/ai152

학습목표

지수분포의 확률질량함수를 이용해 기댓값과 분산을 구할 수 있고, 지수분포의 무기억성을 이해할 수 있다.

핵심 키워드

지수분포에는 람다라는 비율 모수가 있음.

람다가 특정한 사건이 발생할 비율이 됨.

X \sim Expo(\lambda)

$\lambda e^{-\lambda x} ~,x>0$

F(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda t}dt=1-e^{-\lambda x}

Let~Y = \lambda X \\ cdf~for~pdf ->P(Y\le y)=P(X\le \frac{y}{\lambda})=1-e^{-y}

cdf가 같다는 것은 미분을 했을 때 pdf도 동일하게 얻어짐을 의미한다.

이를 이용하여 우리는 모수가 1인 것을 구하고 나중에 상수를 곱해서 Y를 만들 수 있음.

X~ 비율 모수가 1 인 지수분포의 기댓값을 구해보자

E(X) = 1 , V(X) = 1이 나옴.

Y의 기댓값과 분산을 구해보자면

E(Y)= $\frac{1}{\lambda}$ , V(Y)= $\frac{1}{\lambda^2}$

지수분포는 Memoryless Property를 가짐.

이 성질은 식으로 다음과 같이 표현할 수 있음.

P(X\geq s+t|X\geq s)=P(X\geq t)

예를 들어 X는 전화가 다시 걸려오는 시간이라고 하자.

이미 s분을 기다린 상태에서 t분을 더 기다려야할 확률은 그냥 t분을 더 기다려야하는 확률과 같다. 즉, 이전에 얼마가 걸렸든 새로 시작하는 것이다 이를 무기억성이라고 한다.

X \sim Expo(\lambda) \\ E(X|X>a)=E(X-a|X>a)+a=E(X)+a

이미 a만큼 기다린 상태에서 기다릴 시간 X의 기댓값에 대한 식임.

확률론