4강 조건부 확률

MostlyFor·2023년 1월 9일

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해당 내용은 아래 강좌를 정리한 내용입니다.
https://www.edwith.org/ai152

학습목표

사건의 독립과 조건부확률의 개념을 이해하고 적용할 수 있다.

핵심 키워드

P(A,B)=P(A)P(B)

를 만족하면 독립한다라고 함.

이는 사건이 서로에게 영향을 주지 않음을 뜻한다고 생각했는데 밑에 예제 01을 보면 서로에게 영향을 주지 않는다고 할 순 없고 그렇게 생각해서 계산할 수 있다 정도로 이해하는게 맞는 거 같기도 함.

3개 사건의 독립

P(A \cap B) = P(A)P(B),\\ P(B \cap C) = P(B)P(C),\\ P(C \cap A) = P(C)P(A),\\ P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)

가 모두 성립할 때, 사건 A, B, C는 독립이다.

이 사건에서 두 사건끼리는 모두 독립이지만 세 사건은 한꺼번에 독립은 아님.

a) 6개의 주사위 중에서 적어도 한 개가 ‘6’이 나온 경우

b) 12개의 주사위 중에서 적어도 두 개가 ‘6’이 나온 경우

c) 18개의 주사위 중에서 적어도 세 개가 ‘6’이 나온 경우

P(A) = 1 - (\frac{5}{6})^6\\ P(B) = 1 - \{(\frac{5}{6})^12+\binom{12}{1}\frac{5}{6})^12\}

이 확률을 구할 때 경우의 수로 구한것이 아니라 독립임을 이용해서 첫번째 주사위가 6이 아닐 확률 x 두번째 주사위가 6이 아닐 확률로 구한것임.

새로운 정보(조건)이 주어졌을 때 나의 믿음을 업데이트 하는 방법

P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

P(A)라는 사건이 B라는 조건이 새로 주어졌을 때 일어날 확률

이 식을 해석하는 방식이 꽤나 중요함.

의미로는 다음과 같이 해석하는게 좋을 듯 함. B라는 사건이 일어난 조건 하에 A가 일어날 확률. 즉 분모는 B라는 사건이 일어날 확률이 됨.

다시 말하면 B중 A가 일어날 확률로도 해석 가능

1.\ P(A \cap B) = P(A|B)P(B)=P(A)P(B|A)\\ 2.\ P(A_1,A_2,A_3...,A_N)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2,A_1)....

정리 2는 1을 이용하여 증명이 가능한데 이때 사건이 일어난 순서를 바꾸더라도 교집합 확률을 구할 수 있음 이를 이용하여 우리는 다른 조합으로 사건이 동시에 일어날 확률을 구할 수 있음.

3.\ P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}

정리 3은 베이즈 정리로서 확률을 업데이트 하는 방법을 알려줌.

확률론