2.3 Inverse of matrix (1)

Jaehyun_onelion·2023년 3월 17일
Linear Algebra선형대수학
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이번 포스트에서는 matrix의 inverse에 대해 알아보겠습니다.


1) Inverse of a matrix


(1) Invertible matrix


Definition : Invertible matrix, inverse of a matrix

An n×nn \times n matrix AA is said to be invertible if there is an n×nn \times n matrix CC such that

CA=AC=ICA = AC = I

where I=InI=I_n, n×nn \times n identity matrix

이 때, CC를 inverse of AA 라고 합니다.

여기서 inverse of AA인 CC는 AA마다 unique하게 존재합니다. (Appendix 참고)

따라서, inverse of AA를

A−1A^{-1}

으로 표시합니다.

즉, matrix AA가 invertible하다는 것은 A−1A^{-1}가 존재해서

AA−1=A−1A=IAA^{-1}=A^{-1}A=I

를 만족한다는 뜻입니다.

Invertible matrix 정의에서 중요한 점은 3가지 입니다.

  1. Invertible matrix는 square matrix에서 정의됩니다.
  2. AA와 A−1A^{-1}끼리의 multiplication은 교환법칙이 성립합니다.
  3. AA−1=A−1A=IAA^{-1}=A^{-1}A=I : multiplication 결과가 identity matrix가 됩니다.

Definition : singular, nonsingular matrix

invertible matrix와 관련된 matrix로 singular, nonsingular matrix가 있습니다.

Invertible한 matrix를 nonsingular matrix라고 하고,

Not Invertible한 matrix를 singular matrix라 합니다.


example

A=[25−37], B=[25−37]A=\begin{bmatrix}2 & 5 \\ -3 & 7\end{bmatrix}, \ B= \begin{bmatrix}2 & 5 \\ -3 & 7\end{bmatrix}

일 때,

AB=BA=[1001]=IAB = BA =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = I

가 됩니다. 따라서 A,BA, B는 invertible matrix(nonsingular matrix)이고, A−1=BA^{-1}=B, B−1=AB^{-1}=A입니다.


(2) Invertible matrix : 2×22\times2 case


2×22\times2 matrix인 경우, invertible matrix인지 아닌지 구분하는 방법과 inverse를 구하는 공식이 있습니다.

A=[abcd]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}

이고, ad−bc≠0ad-bc \neq 0을 만족하면,

A−1=1ad−bc[d−b−ca]A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c &a \end{bmatrix}

입니다.

이는 AA−1AA^{-1}를 구해보면

AA−1=A−1A=1ac−bc[d−b−ca][abcd]=1ad−bc[ad−bc00ad−bc]=IAA^{-1}=A^{-1}A = \frac{1}{ac-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c &a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c &d \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 &ad-bc \end{bmatrix} = I

를 통해 A−1A^{-1}가 됨을 알 수 있습니다.

이 때

ad−bcad-bc

의 값에 따라 matrix가 invertible한지 아닌지 결정이 됩니다. (ad−bc≠0ad-bc\neq0이면 invertible, ad−bc=0ad-bc=0이면 not invertible합니다.) 따라서 위의 식을 determinant라고 정의하고, 다음과 같이 표기합니다.

detA=∣abcd∣detA = \begin{vmatrix}a & b \\ c &d\end{vmatrix}

example

A=[3456]A=\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 &6 \end{bmatrix}

인 경우

A−1=118−20[6−4−53]=[−3252−32]A^{-1}=\frac{1}{18-20}\begin{bmatrix}6 & -4 \\ -5 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ \frac{5}{2} &-\frac{3}{2} \end{bmatrix}

가 됩니다.


(3) Properties of Invertible matrix


Invertible matrix는 다음의 성질을 가집니다.

  • If AA is n \times n $ matrix, then for each $\boldsymbol{b} in Rn\mathbb{R}^n, the equation Ax=bA \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} has the uniquae solution x=A−1b\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}
  • If AA is invertible matrix, then A−1A^{-1} is invertible and (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A
  • If A,BA, B are n×nn \times n invertible matrix, then ABAB is invertible, (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
  • If AA is invertible, then ATA^T is invertible, and (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T

특히 첫 번째 성질은 AA가 invertible하면 matrix equation을 A−1A^{-1}를 이용하여 바로 solution을 구할 수 있습니다.

또한, 세 번째 성질은 두개 이상의 invertible matrix의 multiplication으로 일반화가 가능합니다.

n×nn \times n invertible matrix A,B,CA, B, C에 대해서

(ABC)−1=C−1B−1A−1(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}

이 되고, n×nn \times n invertible matrix A1,...,AmA_1, ..., A_m에 대해서

(A1A2⋯Am)−1=Am−1Am−1−1⋯A2−1A1−1(A_1A_2 \cdots A_m)^{-1}=A_m^{-1}A_{m-1}^{-1} \cdots A_2^{-1}A_1^{-1}

이 됩니다. 위의 성질을 이용하여 일반적인 square matrix가 invertible한지 하지 않은지 확인할 수 있습니다.

위의 성질에 대한 증명은 appendix를 참고해주시기 바랍니다.

지금까지 invertible matrix와 inverse of matrix에 대해 알아보았습니다. 다음 포스트에서는 실제로 matrix의 inverse를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 질문이나 오류가 있으면 댓글로 남겨주세요! 감사합니다!


Appendix : Proof of property


(1) Uniqueness of the inverse


AA가 invertible하면 AA의 inverse는 unique합니다.

  • proof

AA가 invertible하므로, AA의 inverse를 BB, CC라고 가정하면

AB=BA=I,AC=CA=IAB=BA=I, AC=CA=I

를 만족합니다.

B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=CB = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

가 되어

B=CB=C

를 만족합니다.


(2) Properties of invertible matrix


  • If AA is n \times n $ matrix, then for each $\boldsymbol{b} in Rn\mathbb{R}^n, the equation Ax=bA \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} has the uniquae solution x=A−1b\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}
  • proof
Ax=bA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}

에서, AA가 invertible하므로 양변에 A−1A^{-1}를 곱해주면

A−1Ax=A−1bA^{-1}A\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}

이 됩니다. 이 때 좌변에서 A−1A=IA^{-1}A=I이므로

x=A−1b\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}

가 됩니다. 따라서 Rn\mathbb{R}^n에 속하는 임의의 b\boldsymbol{b}에 대해서 matrix equation Ax=bA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}는 unique solution을 가집니다.


  • If AA is invertible matrix, then A−1A^{-1} is invertible and (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A
  • proof
A−1A=AA−1=IA^{-1}A=AA^{-1}=I

입니다. 따라서

(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A

가 됩니다.

  • If A,BA, B are n×nn \times n invertible matrix, then ABAB is invertible, (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
  • proof

A,BA, B가 size가 같고 invertible하므로

AB(B−1A−1)=AIA−1=AA−1=I(B−1A−1)AB=B−1IB=B−1B=IAB(B^{-1}A^{-1})=AIA^{-1}=AA^{-1}=I \\ (B^{-1}A^{-1})AB=B^{-1}IB=B^{-1}B=I

를 만족하기 때문에,

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

입니다.

위 증명은 두 개 이상의 invertible matrices 곱의 inverse를 구할 때 또한 사용할 수 있습니다.


  • If AA is invertible, then ATA^T is invertible, and (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T
  • proof

AA가 invertible하므로

A−1A=AA−1=IA^{-1}A=AA^{-1}=I

입니다. 양변에 transpose를 취하면

(A−1A)T=(AA−1)T=IT=I(A^{-1}A)^T=(AA^{-1})^T=I^T=I

Identity matrix는 diagonal matrix이므로 symmetric합니다. 따라서 위의 식을 정리하면

AT(A−1)T=(A−1)TAT=IA^T(A^{-1})^T = (A^{-1})^TA^T=I

가 되어

(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T

가 됩니다.

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