3.1 Determinant

Jaehyun_onelion·2023년 3월 17일

선형대수학

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이번 포스트에서는 determinant에 대해서 알아보겠습니다.

1) Determinant

$2 \times 2$ matrix

A=\begin{bmatrix}a & b \\ c& d \end{bmatrix}

의 determinant는

detA = ad-bc

였습니다. 만약 $detA \neq 0$ 이면 $A$ 는 invertible하고, $detA=0$ 이면 $A$ 는 invertible하지 않습니다.

이번 chapter에서는 일반적인 $n \times n $ matrix의 determinant를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

example

$3 \times 3$ matrix $A$ 가 다음과 같습니다.

A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

만약 $A$ 가 invertible하면, $A$ 의 pivot column의 수가 3개여야 합니다. 따라서 row operation을 통해 echelon form을 만들어주면

\begin{aligned} A &\sim \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{11}a_{22}-a_{11}a_{21} & a_{11}a_{23}-a_{11}a_{21} \\ 0 & a_{11}a_{32}-a_{11}a_{31} & a_{11}a_{33}-a_{11}a_{31} \end{bmatrix} \\ \ \\ &\sim \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{11}a_{22}-a_{11}a_{21} & a_{11}a_{23}-a_{11}a_{21} \\ 0 & 0 & a_{11}\Delta \end{bmatrix} \end{aligned}

로 만들어지고, $\Delta$ 는

\begin{aligned} \Delta &= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} \\ &=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) \end{aligned}

과 같이 정리됩니다. 이 때, $a_{11}$ 에 곱해진 $a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}$ 는

A_1=\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

의 determinant이며, 마찬가지로, $a_{12}$ 와 $a_{13}$ 에 곱해진 $a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}$ , $a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}$ 은 각각

A_2=\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}, \\ \ \\ A_3=\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}

의 determinant입니다. 위 세 행렬을 자세히 보면, $A_{1}$ matrix는 $A$ 에서 $a_{11}$ 에 해당하는 row와 column(1행 1열)을 제외한 나머지 matrix가 되고, $A_2$ 는 $a_{12}$ 에 해당하는 row와 column(1행 2열)을 제외한 나머지 matrix, $A_3$ 는 $a_{13}$ 에 해당하는 row와 column(1행 3열)을 제외한 나머지 matrix가 됩니다.

$A$ 가 invertible하려면 $\Delta \neq0$ 이어야 하기 때문에, 이 값을 $3 \times 3$ matrix의 determinant로 정의합니다. Determinant를 계산하였을 때, 하나의 행의 entry 값과 그 entry에 해당하는 row와 column을 제외한 나머지 matrix의 determinant의 조합으로 정의됩니다.

(1) Cofatctor

Defintion : Minor, Cofactor

$A : n \times n$ matrix일 때,

Minor of entry $a_{ij}$ : Determinant of submatrix that remains when $i$ th row and $j$ th column of $A$ are deleted

Notation : $M_{ij}$

Cofactor of entry $a_{ij}$ : $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$

$(i, j)$ entry의 minor는 $A$ 에서 $i$ 행과 $j$ 열을 제외하고 만든 submatrix의 determinant입니다.

$(i, j)$ entry의 cofactor는 $(i, j)$ entry의 minor에 $(-1)^{i+j}$ 를 곱한 값으로 정의합니다.

example

A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -4 & 5& 6 \\ 7 & -8 & 9 \end{bmatrix}

일 때

C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 93 \\ \ \\ C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix}-4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 78 \\ \ \\ C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}-4 & 5 \\ 7 & -8 \end{vmatrix} = -3 \\

입니다. 나머지 entry의 cofactor 또한 같은 방법으로 구할 수 있습니다.

(2) Determinant

Cofactor를 이용하여 determinant를 정의할 수 있습니다.

Definition : Determinant

The determinant of an $n \times n$ matrix $A$ can be computed by multiplying the entries in any row (or column) by their cofactors and adding the resulting products

$det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+ \cdots + a_{in}C_{in}$

$det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+ \cdots + a_{nj}C_{nj}$

$A$ 의 determinant을 구하기 위해서는 먼저 $A$ 의 특정한 행 또는 열을 선택을 합니다. 선택을 한 행(또는 열)에 대해서 각각의 entry 값과, entry의 cofactor를 곱해준 뒤, 더한 값이 determinant입니다.

임의의 행 또는 열을 선택해서 계산을 하더라도 모두 같은 결과가 나오기 때문에, 실제로 determinant를 계산할 때는 계산이 간편해지는 row나 column을 선택하여 계산합니다.

example

A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ -4 & 5 &6 \\ 7 & -8 & 9 \end{bmatrix}

$A$ 의 determinant을 구하기 위해, 1행을 기준으로, 1열을 기준으로 determinant를 구해보겠습니다.

먼저 1행을 기준으로 determinant를 구하면

det(A)=1 \cdot C_{11} +2\cdot C_{12} +3 \cdot C_{13}

이고, 위에서 계산한 cofactor를 이용하면

det(A) = 1\cdot 93 + 2\cdot 78 + 3 \cdot(-3) = 240

이 나옵니다. 1열을 기준으로 determinant를 계산하면

det(A)=1 \cdot C_{11} -4\cdot C_{21} +7 \cdot C_{31}

이고

C_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}2 & 3 \\ -8 & 9 \end{vmatrix} = -42 \\ \ \\ C_{31} = (-1)^{3+1}\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 5 &6\end{vmatrix}=-3

임을 이용하면

det(A)=1\cdot93 + (-4)\cdot(-42) + 7 \cdot(-3) = 240

을 얻을 수 있습니다. 임의의 열이나 행을 선택하여 determinant를 구하더라도 결과는 같은 값으로 나옵니다.

example

B = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 5 \\ 1 & 2& 4 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 3 \\ 8 &6 & 0 & 0 \end{bmatrix}

$B$ 의 determinant를 구하기 위해 co-factor expansion을 적용할 때, 각각의 co-factor 계산과정에서 $3 \times 3$ matrix의 determinant를 구해주어야 합니다. 따라서 계산이 간단해질 수 있도록, co-factor를 0으로 만들어주는, 즉 entry 값이 0이 많은 column이나 row를 선택하여 determinant를 구해줍니다. $B$ 의 경우 세 번째 column이 0이 가장 많기 때문에 세 번째 column을 기준으로 co-factor expansion을 적용하면