3.3 Cramer's Rule

이번 포스트에서는 Cramer's rule에 대해서 알아보겠습니다.

1) Cramer's Rule

Cramer's rule을 정의하기 위해서는 하나의 notation 정의가 필요합니다.

• Definition

for any $n \times n$ matrix $A$ and any $\boldsymbol{b}$ in $\mathbb R^n$, let $A_i(\boldsymbol b)$ be the matrix obtained from $A$ by replaceing column $i$ by the vector $\boldsymbol{b}$

즉 $A_i(\boldsymbol b)$ 는 matrix $A$의 $i$ 번째 column 대신 $\boldsymbol{b}$를 넣은 새로운 matrix입니다.

• Theorem : Cramer's Rule

Let $A$ be an invertible $n \times n$ matrix. For any $\boldsymbol{b}$ in $\mathbb R ^n$, the unique solution $\boldsymbol{x}$ of $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ has entries given by

Cramer's rule을 이용하면, determinant를 이용하여 linear system의 solution을 구할 수 있습니다.

(증명은 appendix 참고)

example

위 linear system을 matrix equation으로 바꾸면

Cramer's rule을 적용하기 위해 $detA_i(\boldsymbol{b})$와 $detA$를 게산하면

Cramer's rule을 적용하면

따라서 위 linear system의 solution은

입니다.

2) A formula for $A^{-1}$

Cramer's rule을 적용하여 $A^{-1}$를 찾을 수 있습니다.

1) FInding $A^{-1}$

Let $A$ be an invertible $n\times n$ matrix. Then, the $j$th column of $A^{-1}$ is a vector $\boldsymbol{x}$ that satisfies

where $\boldsymbol{e_j}$ is the $j$th column of identity matrix.

Inverse의 정의에 의해

를 만족합니다. 따라서 위 matrix 식의 결과를 각 column별로 살펴보면

을 만족하는 $\boldsymbol{x}$가 $A^{-1}$의 $j$th column이 되는 것을 알 수 있습니다.

위 방정식의 solution을 구할 때, Cramer's rule을 이용하면

가 되고, $x_{ij}$는 $A^{-1}$의 $(i, j)$ entry가 됩니다.

$A_i(\boldsymbol{e_j})$를 살펴보면

입니다. 따라서 $detA_i(\boldsymbol{e_j})$를 co-factor expansion을 이용하여 구할 때 $i$ 번째 column을 기준으로 구하게 됩니다. $A_i(\boldsymbol{e_j})$의 $(j, i)$ 위치에서의 co-factor는 $A_i(\boldsymbol{e_j})$에서 $j$ 번째 row, $i$ 번째 column을 제외한 matrix의 determinant입니다.

해당 determinant는 $A$에서 $j$ 번째 row, $i$ 번째 column을 제외한 matrix의 determinant와 같습니다. 즉 $A_i(\boldsymbol{e_j})$의 $(i, j)$ 위치에 해당하는 cofactor는 $A$의 $(i, j)$ 위치에 해당하는 cofactor와 일치합니다. 따라서

입니다.

$A^{-1}$의 $(i, j)$ entry에 해당하는 값을 알았으니, $A^{-1}$를 표현하면

이 됩니다. 여기서 $\frac{1}{detA}$를 제외한 matrix 부분

를 adjugate of $A$라고 하고, $adjA$로 표시합니다.

example

$A$의 determinant를 첫 번째 행을 기준으로 co-factor expansion을 이용하여 구해보면

determinant가 0이 아니므로, $A$는 invertible matrix입니다. 각 entry에 해당하는 cofactor를 구해보면

이를 이용하여 $A^{-1}$를 구하면

가 됩니다.

지금까지 Cramer's rule에 대해서 알아보았습니다. 다음 포스트에서는 Vector space와 subspace에 대해서 알아보겠습니다. 질문이나 오류 있으면 댓글 남겨주세요! 감사합니다!

Appendix : Proof of Theorem

Theorem : Cramer's Rule

Let $A$ be an invertible $n \times n$ matrix. For any $\boldsymbol{b}$ in $\mathbb R ^n$, the unique solution $\boldsymbol{x}$ of $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ has entries given by

• Proof

Let

$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$를 linear system으로 표현하면 다음과 같이 표현됩니다.

첫 번째 식부터 n 번째 식까지 오른쪽에 번호를 통하여 나타내었습니다.

여기서 $i$번 째 식의 양변에 $C_{ij}$를 곱해주겠습니다. ($i=1, 2, ... ,n$)

이 후, 1번 식부터 n번 식 모두를 더하고 $x_1, x_2, ..., x_n$에 대해서 정리를 하면

where

가 됩니다.

$p_i$에 대해서 살펴보겠습니다.

만약 $i= j$라면

가 됩니다. $i$ 번째 column을 기준으로 co-factor expansion을 한 determinant입니다.

만약 $i\neq j$라면

가 됩니다. A의 $j$ 번째 column을 $\boldsymbol{a_i}$로 바꾼 matrix의 $j$ 번째 column을 기준으로 co-factor expansion을 한 결과가 됩니다.

여기서, $j\neq i$이므로, $A_{j}(\boldsymbol{a_i})$에서 $i$ 번째, $j$ 번째 column이 $\boldsymbol{a_i}$입니다.

$A_{j}(\boldsymbol{a_i})$에서 똑같은 column이 존재하기 때문에, $A_{j}(\boldsymbol{a_i})$의 determinant가 0입니다.

마지막으로 $\boldsymbol{b}'$을 살펴보면

인 것을 알 수 있습니다.

이를 이용하여 식을 정리하면

이 성립하고, $A$가 invertible하므로

결과를 얻을 수 있습니다.