시야각

시야각은 가로, 세로 중 어디를 기준점으로 잡느냐에 따라 좀 달라짐

책에서는 수직 시야각(vertical fov)를 사용한다고 함

현재 우리는 Camere_center에서 focal_length가 1임

즉, (0, 0, 0)에서 z축으로 -1만큼 떨어진 뷰포트를 보는중임

이때 우리가 바라보는 시야의 중앙은 0,0,-1이고,
이 좌표로부터 수직 시야각을 이용하여 상하로 $\theta / 2$ 만큼씩 보고있는 시야각인거임

대략 이렇게 -z축방향으로 카메라가 원점에서 $\theta$의 시야각으로 화면의 수직 방향을 보고 있는거임

이때 $h$는 $\theta$의 대변임

따라서 삼각함수 공식에 따라

$h = \tan(\frac{\theta}{2})$

이 됨

우리는 카메라의 fov를 설정하고,
fov를 radian으로 바꾸어 $\theta$를 만든 후,
이를 이용해서 수직 시야범위를 계산할거임

#ifndef CAMERA_H
#define CAMERA_H

#include "Color.h"
#include "hittable.h"
#include "Material.h"

class Camera {
public:
    //...
    
    double fov          = 90; //시야각
    
	//...
    
private:
	//...
    
    void initialize() {
        //...

        // Camera
        //카메라부터 뷰표트까지의 거리
        double focal_length = 1.0;

        double theta = degrees_to_radians(fov);
        double h = std::tan(fov / 2);
        double viewport_height = 2 * h * focal_length;
        
        //...
    }
    
    //...
};

#endif

focal_length를 곱하는 이유

비율임
h는 focal_length에 따라 비율이 변함
예를들어 focal_length가 1일때, h가 2였다면
focal_length가 4일때는 h가 8이 되어야 비율이 맞음

하지만 이걸로는 부족함

실제 카메라는 원점이 0,0,0도 아님
원점은 움직일 수 있고, 이로인해 바라보는 대상을 보는 각도도 바뀜

이를 계산해줘야함

정규 직교 기저

기저 벡터는 n차원 공간에서 사용하는 일종의 좌표 축임

예를들어 2차원 공간은 0,1, 1,0인 2개의 벡터로 표현할 수 있지?
이 2개의 벡터가 기저벡터임

그럼 3차원 공간은 뭐겠어?
0,0,1, 0,1,0, 1,0,0이 기저벡터지

즉, 기저벡터는 n차원 공간을 표현할 수 있는 최소개수의 벡터 집합임

정규 직교 기저

n차원 공간에서 모든 벡터의 크기가 정규화 되었으면서, 서로 수직기저 벡터들의 집합

이 기저벡터를 카메라의 원점을 기준으로 계산하여 카메라의 어느 방향이 오른쪽, 위쪽, 앞쪽 인지 기준점으로 삼을거임

기저벡터가 필요한 이유는 뭔데?

카메라의 방향을 지정함으로써 어디로 움직여야 어느 방향인지를 알 수 있게 하기 위함임

우리가 머리를 살짝 오른쪽으로 회전시켜보자
코를 기준으로 약 90도 오른쪽으로 회전시켰다고 가정하면...

우리가 보는 방향의 위쪽은 원래 머리 방향의 오른쪽임
우리가 보는 방향의 왼쪽은 원래 머리 방향의 위쪽임
우리가 보는 방향의 앞쪽은 원래 머리 방향의 앞쪽임

이렇게 방향에 대한 좌표가 달라지게 됨

이를 해결하기위해 원점에서부터의 기저벡터를 설정하여
해당 기저벡터를 중심으로 각도를 조절할거임

필요한건 다음과 같음

look from - 카메라의 위치 좌표,
look at - 카메라가 보는 좌표,
u,v,w - 정규 직교 기저,

u: 우측,
v: 위쪽,
w: 카메라에서 사용자 방향(시야에서 정면의 반대 방향),
오른손 좌표계 기준이라, z축이 -에 있어야 보임,
따라서 사용자는 보는 방향 반대에 위치

추가로 필요한게 잇음
카메라의 위쪽방향에 해당되는 좌표임

vup - 카메라 기준의 위쪽 좌표

그래서 코드는 다음처럼 바뀜

class Camera {
public:
    //...
    double vfov          = 90; //수직 시야각
    Point3 look_from     = Point3(0,0,0); //카메라 원점 좌표
    Point3 look_at       = Point3(0,0,-1); //카메라 보는 곳 좌표
    Vector3 vup          = Vector3(0,1,0); //카메라 기준 위쪽 좌표
    
private:
    //...
    Vector3 u, v, w; //정규 직교 기저

    void initialize() {
        //...

        camera_center = look_from;

        // Camera
        //카메라부터 뷰표트까지의 거리
        double focal_length = (look_from - look_at).length();

        double theta = degrees_to_radians(vfov);
        double h = std::tan(vfov / 2);
        double viewport_height = 2 * h * focal_length;
        
        //해상도 비율을 사용하지 않고, 이미지를 사용하는 이유
        //해상도 이미지는 이상적인 비율이고, 실제 이미지의 비율은 해상도 비율과 다를 수 있음
        //width = height / 9 * 16 = height * 16 / 9
        double viewport_width = viewport_height * (static_cast<double>(image_width) / image_height);

        w = unit_vector(look_from - look_at);
        u = unit_vector(cross(w, vup));
        v = cross(w, u);

        //뷰표트의 왼->오, 상->하로 이동하는 최대 좌표 구하기
        Vector3 viewport_u = viewport_width * u;
        Vector3 viewport_v = -viewport_height * -v;

        //뷰포트의 각 픽셀간의 거리 구하기(델타 벡터)
        pixel_delta_u = viewport_u / image_width;
        pixel_delta_v = viewport_v / image_height;

        //최 좌상단 픽셀의 좌표구하기
        //camera_center - Vector3(0, 0, focal_length) : 뷰포트 바로 위에서 focal_length만큼 z방향 반대로 떨어지기
        // - viewport_u/2 - viewport_v/2 : 화면의 가로세로 절반씩 좌, 상으로 이동하기(뺄셈)
        Vector3 viewport_upper_left = camera_center - (focal_length * w) - viewport_u / 2 - viewport_v / 2;
        //위의 공식은 뷰포트의 최좌상단 좌표가 됨. 하지만 픽셀 시작 좌표는 아님
        //따라서 시작지점은 뷰포트 픽셀거리의 절반만큼 띄워진 거리에서부터 시작해야 정확히 너비 * 높이 개의 영역으로 균등하게 나눠짐
        pixel00_loc = viewport_upper_left + 0.5 * (pixel_delta_u + pixel_delta_v);
    }
    
    //...
};

#endif
//-------------------------------------------//
int main()
{
    HittableList world;

    auto material_ground = make_shared<Lambertian>(Color(0.8, 0.8, 0.0));
    auto material_center = make_shared<Lambertian>(Color(0.1, 0.2, 0.5));
    auto material_hollow_glass = make_shared<Dielectric>(1.5);
    auto material_hollow_in = make_shared<Dielectric>(1.00/1.5);
    auto material_diamond = make_shared<Dielectric>(2.417);
    auto material_right  = make_shared<Metal>(Color(0.8, 0.6, 0.2), 0.5);

    world.add(make_shared<Sphere>(Point3( 0.0, -100.5, -1.0), 100.0, material_ground));
    world.add(make_shared<Sphere>(Point3( 0.0,    0.0, -1.2),   0.5, material_center));
    world.add(make_shared<Sphere>(Point3(-1.0,    0.0, -1.0),   0.5, material_hollow_glass));
    world.add(make_shared<Sphere>(Point3(-1.0, 0.0, -1.0), 0.45, material_hollow_in));
    world.add(make_shared<Sphere>(Point3(-0.1, 0.0, -0.3), 0.1, material_diamond));
    
    world.add(make_shared<Sphere>(Point3( 1.0,    0.0, -1.0),   0.5, material_right));

    Camera cam;
    cam.aspect_ratio = 16.0 / 9.0;
    cam.image_width = 1200;
    cam.samples_per_pixel = 300;
    cam.max_depth = 50;

    cam.vfov = 20;
    cam.look_from = Point3(-2, 2, 1);
    cam.look_at = Point3(0, 0, -1);
    cam.vup = Vector3(0, 1, 0);

    cam.render(world);
}

그렇게 렌더링하면 아래 사진처럼 나옴