유전체? 절연체?

유전체는 더 큰 범주의 절연체임

절연체는 아예 전기가 흐르지 못하고, 전극이 와도 분극되지 못하고 그냥 아예 전기가 막힘

유전체는 전기의 흐름을 방해하는 의미에서 절연체임
유전체는 전극이 흐르면 이를 +, -로 분극을 함

따라서 좋은 유전체는 좋은 절연체이지만,
역은 성립하지 않을 수 있음

스넬 법칙

$\eta , \eta'$ = 매질에 따른 굴절율,
$\theta , \theta'$ = 법선으로부터의 입사각, 굴절각

스넬 법칙: $\eta * \sin \theta = \eta' * \sin \theta'$

빛은 매질이 바뀔때, 빛이 닿은 경계면의 평행한 방향의 성분만 유지가 된다는걸 의미함.

각 물체는 굴절률이 다름
빛이 물체에 닿았을때 굴절이 되는데, 빛의 방향의 성분중에서 빛이 닿은 경계면과 평행한 성분만 유지가 되고, 나머지는 굴절율에 의해 굴절이 되는걸을 의미함.

노란 벡터 = 빛 방향,
파란 벡터 = 경계면에서의 Normal
노란 점선 벡터 = 굴절된 후의 빛 벡터
회색 점선 벡터 = 경계면과 평행한 방향(방향만 유지된거임)

이렇게 경계면과 평행한 방향은 유지하면서, 다른 각도로 굴절되는 것이
스넬 법칙임

중요!!!
입사 벡터, 법선 벡터는 모두 정규화된 벡터임!!

스넬 법칙 전개

$\eta * \sin \theta = \eta' * \sin \theta'$

이 식을 살펴보자

우리에게 필요한 것은 $\sin\theta'$임
왜냐고?
표면 바깥에서 굴절되어 표면 내부로 들어올 것이기 때문에ㅇㅇ

따라서 료이키 텐카이를 통해 $\sin\theta'$만 남기고 이항 정리를 함

$\sin\theta' = \frac{\eta}{\eta'}*\sin\theta$

가 됨

1. 벡터 합으로 R' 정의

$R'$ = 경계에 닿은 빛이 굴절된 벡터
$\theta'$ = 굴절각
$R'_\bot$ = 법선 $n'$에서 수직인 벡터
$R'_\parallel$ = 법선 $n'$에서 평행인 벡터

위의 사진에서

$R' = R'_\bot + R'_\parallel$

이라는 것을 확인할 수 있음

2. $R'_\bot = \frac{\eta}{\eta'}(R - (R \cdot N) * N)$ 정리

핵심은 입사각 $R$을 이용하는 거임

현재 우리는 $R, \theta, n$을 알고있음

$R = R_\bot + R_\parallel$

이라는 걸 알 수 있음
위에처럼 ㅇㅇ

• 여기서 $R_\bot$은 $R'_\bot$과 방향이 동일하고
  두 수직성분의 비율은 두 굴절율의 비율과 같음
  • 결국 경계면과 평행한 두 수직성분은
    굴절율의 비율에 따라 크기가 변화하게 됨

여기서 우리는 $R_\parallel$을 구할 수 있음

Metal재질 반사각 전개
이 링크의 내용을 이용해 $R_\parallel$을 찾은 후 값을 찾아주면됨
아래에서 다시 설명함

$\cos\theta$ = 직각삼각형의 밑변 / 빗변
빗변 = 정규화된 벡터 = 1
$\cos \theta$ = 밑변 = $R_\parallel$

입사 벡터 $\cdot$(내적) 법선 = 입사벡터 * 법선벡터 $\cos \theta$
입사벡터 = 정규화된 벡터 = 1
법선벡터 = 정규화된 벡터 = 1
입사 벡터 $\cdot$ 법선 = $\cos \theta$

입사 벡터($R$) $\cdot$ 법선($N$) = $\cos \theta$ = $R_\parallel$

하지만 내적은 스칼라값이므로, 정규화된 벡터인 법선과 곱해서 정확한 밑변 벡터를 찾음

-> $R_\parallel = (R \cdot N) * N$

$R = R_\bot + R_\parallel$
= $R_\bot = R - R_\parallel$

따라서 식을 전개해보면

$R_\bot = R - (R \cdot N) * N$

이 되는걸 알 수 있음

여기서 $R_\bot$은 $R'_\bot$과 방향이 동일하고
두 수직성분의 비율은 두 굴절율의 비율과 같음

위에서 살펴본 위 특성에 의해

$R'_\bot = \frac{\eta}{\eta'}(R - (R \cdot N) * N)$

가 되는 것을 알 수 있음

3. $R_\parallel = -\sqrt{1 - |R'_\bot|^2*n}$ 정리

2번은 경계와 평행한 성분인 수직성분을 구함

이번에는 경계와 수직인 성분인 평행성분을 구할 차례임

안타깝게도 수직인 성분에 대해서는
두 굴절률의 비율에 따라 값이 변화하지 않음

따라서 피타고라스 공식을 이용해서 구해주면 됨

피타고라스 정리

• 빗변$^2$ = 밑변$^2$ + 높이$^2$

이때 각 변은 스칼라 값임
그냥 크기라는 거임

따라서 값을 구해주면, 나중에 벡터를 곱해서 방향을 만들어줘야함

빗변 = $R'$ =정규화된 벡터 = 1
밑변 = |$R'_\bot$| = |$R' - (R' \cdot N) * N$|
높이 = |$R'_\parallel$|

이걸 정리해보면

$1^2 = (R'_\bot)^2 + (R'_\parallel)^2$

이 됨

이항정리를 하면

$(R'_\parallel)^2 = 1^2 - ((R'_\bot) * N)^2$

$R'_\parallel = \sqrt{1 - ((R'_\bot) * N)^2}$

위처럼 정리가 됨

그리고 이미 구한 $R'_\bot$을 이용하면

$R'_\parallel = \sqrt{1 - ((R' - (R' \cdot N) * N) * N)^2}$

이라는 식을 구할 수 있음

4. $R' = R'_\bot + R'_\parallel$

다시 이 사진을 보면

$R' = R'_\bot + R'_\parallel$ 이라는 것을 알 수 있음

굴절 코드 구현

//Vector3.h...

inline Vector3 refract(const Vector3& uv, const Vector3& n, double etai_over_etat)
{
    auto cos_theta = std::fmin(dot(-uv, n), 1.0);
    Vector3 r_out_perp =  etai_over_etat * (uv + cos_theta*n);
    Vector3 r_out_parallel = -std::sqrt(std::fabs(1.0 - r_out_perp.length_squared())) * n;
    return r_out_perp + r_out_parallel;
}

먼저 $\cos \theta$를 구하고,
그걸 이용해서 수직성분, 평행성분을 구해준 후 더하면
굴절된 벡터인 $R'$를 구하는거임!

Dielectric머티리얼 구현

class Dielectric : public Material
{
public:
    Dielectric(double refraction_index) : refraction_index(refraction_index) {}

    bool scatter(
        const Ray& r_in,
        const HitRecord& rec,
        Color& attenuation,
        Ray& scattered) const override
    {
        attenuation = Color(1,1,1);
        double ratio_of_refraction_index = rec.front_face ? 1.0 / refraction_index : refraction_index;

        Vector3 unit_direction = unit_vector(r_in.direction());
        Vector3 refracted = refract(unit_direction, rec.normal, ri);

        scattered = Ray(rec.p, refracted);
        return true;
    }

private:
    //굴절률
    double refraction_index;
};

여기서 핵심은

double ratio_of_refraction_index = rec.front_face ? 1.0 / refraction_index : refraction_index;

임!

공기의 굴절률은 1에 수렴함
공기에서 물체의 내부로 들어가는건 front_face인거임

따라서 굴절률 비율은

$1(공기) / 굴절률 = \frac{\eta}{\eta'}$

인거임!

그리고 내부에서 외부로 나올때는 front_face가 아니므로

$굴절률 / 1(공기) = \frac{\eta'}{\eta} = \eta'$

가 되는거임

이제 사용해보자

한번 다이아몬드의 굴절률을 사용해보자

auto material_left   = make_shared<Dielectric>(2.417);

이렇게 수정하고 렌더링을 해보면...

전반사 (Total Internal Reflection)

밀도가 높은 물질에서 밀도가 낮은 물질로 빛이 나가면 어떻게 될까
무조건 굴절이 될까?

절대 그렇지 못함

위의 세션인 스넬 법칙에서 살펴봤듯

$\sin \theta * \eta = \sin \theta' * \eta'$
$\sin\theta' = \frac{\eta}{\eta'} * \sin\theta$

처럼 식이 정리 가능하다.

밀도 높은 물질의 굴절률 = $\eta$ = 2.4(다이아몬드)
밀도 낮은 물질의 굴절률 = $\eta'$ = 1(공기)

라고 해보자

$\sin\theta' = {2.4} * \sin\theta$

이 됨

근데 이러면 문제가 있음

$\sin \theta$가 대략 0.45정도만 되어도 $\sin\theta'$가 1을 넘어가버림
$\sin \theta$는 최대값이 1임

따라서 물질 내부에서 굴절이 안되는 각도의 빛은 반사가 됨

즉, $\sin \theta$가 1이 넘어가는 경우, 임계각을 넘어가는 경우는 굴절이 아닌 반사를 해줘야함

$\sin\theta$는 피타고라스 정리를 이용해서 구할 수 있음

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$
$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta}$

임

위의 스넬법칙에서 $\cos\theta = R\cdot N$이라는 것도 알아냄

따라서 Dielectric머티리얼의 scatter메서드를 조금 수정해주면 됨

class Dielectric : public Material
{
public:
    Dielectric(double refraction_index) : refraction_index(refraction_index) {}

    bool scatter(
        const Ray& r_in,
        const HitRecord& rec,
        Color& attenuation,
        Ray& scattered) const override
    {
        attenuation = Color(1,1,1);
        double ratio_of_refraction_index = rec.front_face ? 1.0 / refraction_index : refraction_index;

        Vector3 unit_direction = unit_vector(r_in.direction());

        //add
        double cos_theta = std::fmin(dot(-unit_direction, rec.normal), 1.0); //코사인 세타
        double sin_theta = std::sqrt(1 - cos_theta * cos_theta);

        bool cant_refract = ratio_of_refraction_index * sin_theta > 1;
        Vector3 direction;

        if (cant_refract)
        {
            direction = reflect(unit_direction, rec.normal);
        }
        else
        {
            direction = refract(unit_direction, rec.normal, ratio_of_refraction_index);
        }
        
        scattered = Ray(rec.p, direction);
        return true;
    }

private:
    //굴절률
    double refraction_index;
};

cos_theta를 이용해서 sin_thete를 구하고
굴절 가능한지 판별을 한 후
reflect/refract를 수행함

대충 물속(1.33)의 공기(1)이라고 가정하고

auto material_left   = make_shared<Dielectric>(1.00/1.33);

과 같은 코드를 짬ㅇㅇ
그럼 다음과 같은 이미지 차이가 생김

왼쪽은 전반사 코드 추가 전/ 오른족은 전반사 코드 추가 후

전반사 추가 전	전반사 추가 후

이렇게 반사가 다르게 되는걸 볼 수 있음

슐릭 근사(schlick approximation), 프레넬 효과

프레넬 효과는 유니티 쉐이더그래프를 하며 여러번 다뤄서 익숙함

프레넬은 빛의 입사각에 따라 반사되는 빛의 양이 달라지는 것을 의미함
그리고 모든 물체는 프레넬을 가짐

위 사진을 보면
프레넬을 가진 주전자는 입사각이 수직에 가까울때는 비교적 어둡고, 더 완만할때는 빛의 반사가 많은 것을 볼 수 있음(외곽부분)

우리가 만든 구체는 저렇게 프레넬 효과가 적용되지 않은 상태여서,
약간 이상하게 보임

프레넬 방정식 VS 슐릭 근사

프레넬을 구할때,
프레넬 방정식과 슐릭 근사 중 하나를 골라서 사용하면 된다

프레넬 방정식

$F_{equation} = (\frac{\eta * \cos\theta - \eta' * cos\theta'}{\eta * \cos\theta + \eta' * cos\theta'})^2$

$\eta$ : 입사 매질 굴절률
$\eta'$ : 투과 매질 굴절률
$\theta$ : 입사각
$\theta'$ : 굴절각

슐릭 근사

$F_{schlick} = R0 + (1- R0)(1 - \cos\theta)^5$

$R0$ : 빛이 표면에 수직으로 입사했을때 반사율
$cos\theta$ : 입사각(0과 가까울수록 수직, 1과 가까울수록 평행)

$R0 = (\frac{1 - \eta}{1 + \eta})^2$

$\eta$ : 굴절률

코드 구현의 난이도로 보면 슐릭근사가 더 빠르고 쉽게 계산됨

---

class Dielectric : public Material
{
	//...

    bool scatter(
        const Ray& r_in,
        const HitRecord& rec,
        Color& attenuation,
        Ray& scattered) const override
    {
        //...

        if (cant_refract || schlick_approximate(cos_theta, ratio_of_refraction_index) > random_double())
        {
            direction = reflect(unit_direction, rec.normal);
        }
        //...
    }

private:
    //...

    static double schlick_approximate(double cos, double ratio_of_refraction_index)
    {
        double r0 = (1 - ratio_of_refraction_index) / (1 + ratio_of_refraction_index);
        r0 = r0 * r0;

        return r0 + (1 - r0) * std::pow((1 - cos), 5);
    }
};

여기서 random_double과 비교하는 이유가 있음

특정 입사각에서 반사되어야 하는 빛의 양이 0.5라고 해보자

1. random_double()을 통해 0.4가 나왔다면
   • 반사되어야 할때
     무조건 반사
   • 굴절되어야 할때
     조건을 만족하지 못하므로 굴절
2. random_double()을 통해 0.6이 나왔다면
   • 반사되어야 할때
     무조건 반사
   • 굴절되어야 할때
     조건을 만족하므로 반사

이렇게 조건에 따라 확률적으로 빛을 반사시켜 프레넬 효과를 만드는거임

이걸 이용해서 기존의 왼쪽 구체를 hollow유리 구체로 만들고,
그 구체 앞에 작은 다이아몬드 구체를 만들어보도록 하겠음

유리의 굴절률은 1.5정도임

#include "Camera.h"
#include "Color.h"
#include "HittableList.h"
#include "hittable.h"
#include "RTWeekend.h"
#include "Sphere.h"

using namespace std;

int main()
{
    HittableList world;

    auto material_ground = make_shared<Lambertian>(Color(0.8, 0.8, 0.0));
    auto material_center = make_shared<Lambertian>(Color(0.1, 0.2, 0.5));

    //hollow glass
    auto material_left = make_shared<Dielectric>(1.5);
    auto material_bubble = make_shared<Dielectric>(1.00/1.5);
    //diamond sphere
    auto material_left_front = make_shared<Dielectric>(2.417);
    
    auto material_right  = make_shared<Metal>(Color(0.8, 0.6, 0.2), 0.5);

    world.add(make_shared<Sphere>(Point3( 0.0, -100.5, -1.0), 100.0, material_ground));
    world.add(make_shared<Sphere>(Point3( 0.0,    0.0, -1.2),   0.5, material_center));

    //hollow glass
    world.add(make_shared<Sphere>(Point3(-1.0,    0.0, -1.0),   0.5, material_left));
    world.add(make_shared<Sphere>(Point3(-1.0, 0.0, -1.0), 0.45, material_bubble));
    //diamond sphere
    world.add(make_shared<Sphere>(Point3(-1.0, 0.0, -0.3), 0.1, material_left_front));
    
    world.add(make_shared<Sphere>(Point3( 1.0,    0.0, -1.0),   0.5, material_right));

    Camera cam;
    cam.aspect_ratio = 16.0 / 9.0;
    cam.image_width = 1200;
    cam.samples_per_pixel = 300;
    cam.max_depth = 50;

    cam.render(world);
}

이렇게 수정함

그러고 렌더링 해보면...