Rank of a Matrix

Definition of Rank

The rank of a matrix $r(A)$ is the number of pivots

• 행렬의 rank는 pivot의 개수를 의미한다.

• rank의 의미
  $m\times n$ 행렬 $A$가 $r$개의 rank를 가질 때,

  • $A\bold x = \bold 0$은 $m$개의 linear equation을 가진다.
  • $m$개의 linear equation중에서 $m-r$개의 equation은 다른 equaion으로부터 유도될 수 있다. [종속]
  • 따라서 실제로는 rank의 개수인 $r$개의 equation이 존재하는 것이나 다름없다.
    ⇒ rank는 행렬의 진짜 크기를 나타낸다.
    

Rank의 응용

전체 행렬을 저장하는 것보다, 행렬의 정보(Rank, pivot)만을 저장한 뒤에 복원하는 방식으로 저장용량을 줄알 수 있다.

Full Rank

Full Rank의 의미

$m\times n$ 행렬 $A$의 rank의 갯수 $r(A)$는 행렬의 행($m$)이나 열($n$)의 갯수를 넘어설 수 없다.

→ 각각의 column은 최대 1개의 pivot을 가지기 때문이다.

Full Column Rank

$m\times n$ 행렬 $A$의 rank의 갯수 $r(A)$가 column의 갯수($n$)와 같을 때, $A$는 Full Column Rank를 가진다.

→ 각 column이 모두 pivot으로 가득 차있다는 의미

• Full Column Rank $m\times n$ 행렬 $A$의 특징.

  • $n$개의 pivot column을 가진다. ↔ free column/variable을 가지지 않는다.

  • free variable로 다른 pivot vatiable을 표현하기 때문에 free variable이 없으면 표현자체를 할 수 없기에 Null Space는 영벡터만을 가진다.

    $N(A) = \{ \bold0\}$

  • $A\bold x = \bold b$는 해를 아예 가지지 않거나 1개의 해만을 가진다.

    💡 아이디어) $A\bold x = \bold b$의 complete solution은 $A\bold x= \bold 0$의 special solution과 $A\bold x = \bold b$의 particular solution의 합이다.

    1. Full Column Rank 행렬의 NullSpace는 영벡터만을 가지기 때문에 special solution이 존재하지 않는다.
    2. 따라서 complete Solution이 $A\bold x= \bold b$의 particular solution과 동일하다.
    3. 해를 가지는 경우
       • particular solution가 존재하면 1개의 complete solution을 가짐
       • particular solution가 존재하면 0개의 complete solution을 가짐

• $A\bold x = \bold b$에서

  • $\bold b$가 $A$의 column Space($C(A)$)에 존재하면 complete solution을 가진다.
  • $\bold b$가 $A$의 column Space($C(A)$)에 존재하지 않으면 complete solution을 가지지 않는다.

• 정사각형 or 아래로 긴 직사각형 형태의 행렬

Full Row Rank

$m\times n$ 행렬 $A$의 rank의 갯수 $r(A)$가 row의 갯수($**m**$)와 같을 때, $A$는 Full Row Rank를 가진다.

→ 각 row가 모두 pivot으로 가득 차있다는 의미

• Full Row Rank $m\times n$ 행렬 $A$의 특징

  • $A$의 Column Space는 $\mathbb R^m$과 같다.
    $C(A) = \mathbb R^m$
  • $A\bold x = \bold b$ 는 항상 해를 가진다.
    → full row rank 행렬의 각 행은 모두 pivot을 가지기 때문에 solution이 항상 존재한다.
    ↔ 어떤 벡터 $\bold b$가 오더라도 $A\bold x = \bold b$가 항상 해를 가지면 $\bold b$는 $C(A)$에 포함관계이다.
    
  • $n-m$개(=free variable의 개수)의 special solution을 가진다.

• 정사각형 or 옆으로 긴 직사각형 형태의 행렬

Rank와 Ax = b의 관계

Rank와 special solution의 관계

$m\times n$ 행렬 $A$를 가정하자.

• pivot column의 수 : $r(A)$
• free column의 수 : $n - r(A)$
  → $A\bold x = \bold 0$은 $n-r(A)$개의 special solution을 가진다는 것을 알 수 있다.
  

Rank의 개수에 따른 solution의 개수

• $r(A) < n$ 이면 해가 무수히 많다.
• $r(A) = n$이면 special solution을 가지지 않는다. ($n-n=0$) → full column rank
  
• $r(A) = m$이면 solution은 무조건 존재한다. → full row rank
  
• $r(A) < m$이면 solution이 존재하지 않을 수도 있다.

관계정리 (표)