[선형대수학] Symmetric Matrix

Symmetric Matrix

자기자신과 전치행렬이 같은 행렬

• 대각선을 중심으로 상삼각-하삼삭이 대칭의 형태를 띄고 있다.
• $(i,j)$에 위치한 요소와 $(j,i)$에 위치한 요소가 동일하다.

Properties of Symmetric Matrix

1. $A$가 Symmetirc Matrix이고, inverse matrix $A^{-1}$를 가지면 $A^{-1}$또한 Symmetirc Matrix이다.

   • inverse matrix의 definition에 의해 다음이 성립한다.
   $A^{-1}A = I$
   • 위 수식의 양변에 transpose를 취한다 (항등행렬의 전치는 항등행렬)
     $(A^{-1}A)^T = I$
   • 곱행렬의 transpose는 각행렬에 transpose에 취한 행렬의 역순의 곱과 동일하다.
   $A^T(A^{-1})^T = I$
   • symmetric matrix $A^T$의 transpose는 $A$이기 때문에 아래와 같이 표현할 수 있다.
   $A(A^{-1})^T = I$

   → 따라서 inverse matrix의 definition에 따라 $(A^{-1})^T = A^{-1}$을 만족해야만 한다.

2. 어떤 행렬 $R$에 대해서도 $R^TR$과 $RR^T$는 Symmetirc Matrix이다.

• $R^TR$

  $(R^TR)^T = R^T(R^T)^T = R^TR$

• $RR^T$

  $(RR^T)^T = (R^T)^TR^T = RR^T$

3. Symmetirc Matrix $A$는 Elimination 과정을 통해 $LDU$로 표현될 수 있고, 만약 $U = L^T$ 이면 $A=LDL^T$이다.

Symmetric Matrix는 그 독특한 성질 때문에 추후 eigen vector를 이용하는 등의 과정에서 유용하게 사용된다.