인공지능수학: 통계학

숙제 10 (HW 10)

아래 문제를 풀어서 제출하시오.

1. 5개의 흰공과 2개의 검은 공이 들어 있는 주머니에서, 3개의 공을 무작위로 한 번에 꺼내려고 한다. 이때 포함된 검은공의 수를 $X$라고 하자.

• $X$의 확률 분포를 구하시오.
• $P(X=1)$을 구하시오.
• $P(0 < X \le 2)$를 구하시오.

2. 하나의 동전을 세 번 던졌을 때 나오는 앞면의 수를 $X$, 처음 두 번의 시행에서 나오는 뒷면의 수를 $Y$라 할 때, $X$와 $Y$의 결합확률분포를 구하고, 그로부터 $X$와 $Y$의 주변확률분포도 각각 구하라.

3. 위 2.에서 구한 결합확률분포에서 공분산과 상관계수를 구하시오.

$X$의 확률 분포

$X$	0	1	2
$P(X=x)$	$\frac 2 7$	$\frac 4 7$	$\frac 1 7$

$P(X=1)=\frac 4 7 $

$P(0 < X \le 2) = P(X=1) + P(X=2)=\frac 5 7$

확률변수 $X$와 $Y$가 취할 수 있는 값은 각각 0, 1, 2, 3과 0, 1, 2이다. 이 실험에서 표본공간의 각 원소와 그에 대응하는 확률 변수 $X$와 $Y$의 값은 아래와 같다.

표본공간	HHH	HHT	HTH	THH	HTT	THT	TTH	TTT
X	3	2	2	2	1	1	1	0
Y	0	0	1	1	1	1	2	2

$X$와 $Y$의 결합확률분포는 아래와 같다.

$Y$ \ $X$	0	1	2	3
0	0	0	$\frac 1 8$	$\frac 1 8$
1	0	$\frac 1 4$	$\frac 1 4$	0
2	$\frac 1 8$	$\frac 1 8$	0	0

$X$의 주변 확률 분포는 아래와 같다.

$X$	0	1	2	3
$P(X=x)$	$\frac 1 8$	$\frac 3 8$	$\frac 3 8$	$\frac 1 8$

$Y$의 주변 확률 분포는 아래와 같다.

$Y$	0	1	2
$P(Y=y)$	$\frac 1 4$	$\frac 1 2$	$\frac 1 4$

확률 변수 $X$의 평균 $\mu_X = 1.5$, $Y$의 평균 $\mu_Y=1$이므로,

$\mbox{Cov}(X, Y) = 1\times 1\times \frac 1 4 + 1 \times 2 \times \frac 1 8 + 2 \times 1 \times \frac 1 4 - 1.5 \times 1 = -0.5$

확률 변수 $X$와 $Y$의 분산은 아래와 같다.

$\mbox{Var}(X)=\sigma_{X^2} = 1^2 \times \frac 3 8 + 2^2 \times \frac 3 8 + 3^2 \times \frac 1 8 - (1.5)^2 = 0.75$

$\mbox{Var}(Y) = \sigma_{Y^2} = 1^2 \times \frac 1 2 + 2^2 \times \frac 1 4 - 1^2 = 0.5$

따라서 X와 Y의 상관계수는

$\rho = \mbox{Corr}(X, Y) = \frac {\mbox{Cov}(X, Y)} {\mbox{SD}(X)\mbox{SD}(Y)} = \frac {-0.5} {\sqrt {0.75}\sqrt {0.5} } \simeq -0.82$