인공지능수학: 통계학

숙제 9 (HW 09) 정답

아래 확률 계산 문제를 풀어서 제출하시오.

1. 주사위를 던지는 실험에서 $A$는 짝수가 나오는 사건, $B$는 3의 배수가 나오는 사건, $C$는 4보다 작은 수가 나오는 사건이라고 할 때, $P(A \cup B)$, $P (A \cap B)$, $P(A \cap B \cap C)$를 구하시오.
2. 52장의 트럼프 카드에서 3장의 카드를 연속적으로 비복원 추출 (추출한 것을 제자리에 돌려 놓지 않음)하는 실험에서 $A$를 첫 번째 카드가 검은색 $K$일 사건, $B$를 두 번째 카드가 $J$나 $Q$일 사건, $C$를 세 번째 카드가 2보다 크고 6보다 작을 사건이라고 할 때 $P(A \cap B \cap C)$를 구하시오.
3. 어떤 사람이 거짓말을 하고 있을 때 얼굴이 빨개질 확률이 0.6이고, 거짓말을 하지 않았는 데도 얼굴이 빨개질 확률이 0.2라고 한다. 그리고 거짓말을 할 확률은 0.2라고 할 때, 이 사람이 이야기하는 도중에 얼굴이 빨개졌다면 지금 거짓말을 하고 있을 확률을 구하시오. (힌트, 베이즈 정리 활용)

$A = \{2, 4, 6\}, B=\{3, 6\}, C=\{1,2,3\}$ 임

$A \cup B = \{2,3,4,6\}$, $P(A \cup B)= \frac 2 3$

$A \cap B = \{6\}, P (A \cap B)= \frac 1 6$

$A \cap B \cap C = \phi, P(A \cap B \cap C) = 0$

$P(A) = \frac 2 {52}, P(B|A)= \frac 8 {51} = \frac {P(B \cap A)} {P(A)} = \frac {P(A \cap B)} {P(A)}, P(C|A \cap B) = \frac {12} {50} = \frac {P(C \cap A \cap B)} {P(A \cap B)}$
$P(A \cap B \cap C)= P(C|A \cap B)P(A \cap B)= P(C|A \cap B) P(B|A) P(A) = \frac {12} {50} \frac 8 {51} \frac 2 {52} = \frac 8 {5,525}=0.0014479638009049773$

8/5525

#0.0014479638009049773

이 사람이 거짓말을 할 사건 $F$, 얼굴이 빨개질 사건을 $R$이라고 하면,

$P(R|F) = 0.6, P(R|F^{C})=0.2, P(F)=0.2, P(F^C)=0.8$이다.

구하고자 하는 확률

$P(F|R)=\frac {P(F \cap R)} {P(R)}= \frac {P(F)P(R|F)} {P(F)P(R|F) + P(F^C)P(R|F^C)} = \frac {0.2 \times 0.6} { 0.2 \times 0.6 + 0.8 \times 0.2} = \frac 3 7=0.42857142857142855$

3/7

#0.42857142857142855