[제로베이스] CH2. 기초 수학 - 계차수열, 피보나치, 팩토리얼

계차수열

계차수열이란 어떤 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어진 또 다른 수열을 의미한다. 아래 수열로 예시를 들어 보겠다.

$a_{n}$ = 1, 3, 10, 22, 39 .....

$a_{n}$에서 규칙을 찾기가 힘들다... 여기서 각 항의 차이를 $b_{n}$ 수열로 나열 해보겠다.

$b_{n}$ = 2, 7, 12, 17....

여기서 $b_{n}$은 공차가 5인 등차 수열이다.

이와 같은 경우 $b_{n}$은 $a_{n}$의 계차 수열이라 할 수 있다.

계차수열 일반항

1. $a_{n}$일반항을 구하기 위해 먼저 $a_{n}$을 $b_{n}$관련 식으로 정리 한다.
   
   $a_{1}$ = $a_{1}$
   $a_{2}$ = $a_{1}$ + $b_{1}$
   $a_{3}$ = $a_{1}$ + $b_{1}$ +$b_{2}$
   
   $a_{n}$ = $a_{1}$ + $b_{1}$ +$b_{2}$ .... + $b_{n-1}$

2. 수열 b의 일반항을 구한다.
   수열 b는 등차 수열이므로 으로 나타낸다.

2. 위 식에서
   $b_{1}$ +$b_{2}$ .... + $b_{n-1}$ 부분은 수열 b의 n-1 항까지 등차수열의 합 이므로
   $b_{n}$ 일반항을 구하고
   n-1 까지의 등차수열 합 공식을 사용해 n과 관련된 식으로 나타낸다.

4. 1번에 나타난
   $a_{n}$ = $a_{1}$ + $b_{1}$ +$b_{2}$ .... + $b_{n-1}$
   식에 대입해 정리하면 $a_{n}$의 일반항이 나온다.

계차수열 파이썬

# 수열을 받고 규칙을 찾은뒤 n번째 항 값 출력 하기
list_a = [3, 7, 13, 21, 31, 43, 57]
n = int(input('n 입력 : '))

b1 = list_a[1] - list_a[0]
b2 = list_a[2] - list_a[1]
d = b2 - b1
print(f'계차 수열 b의 공차(d) = {d}')

b = 0
an = list_a[len(list_a)-1]

for i in range(n):
    b += d
    if ( i < len(list_a) ):
        print(f'b{i+1}번째 항 : {b}')
        print(f'    a{i+1}번째 항 : {list_a[i]}')

    else:
        print(f'b{i+1}번째 항 : {b}')
        an += b    
        print(f'    a{i+1}번째 항 : {an}')

피보나치 수열

피보나치 수열 관한 내용은 다른 포스트에 게시했다.
https://velog.io/@wjdgotjd135/%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98-%EB%8B%A4%EC%9D%B4%EB%82%98%EB%AF%B9-%ED%94%84%EB%A1%9C%EA%B7%B8%EB%9E%98%EB%B0%8D

팩토리얼

1부터 양의 정수 n까지의 정수를 모두 곱한 것을 의미한다.

0! = 1 (약속이다)
1! = 1
2! = 2 x 1
3! = 3 x 2 x 1
4! = 4 x 3 x 2 x 1

팩토리얼 파이썬

팩토리얼은 대표적인 재귀함수 문제이기도 하다. 재귀함수는 다른 포스트에서 다루도록 하겠다.

def Factorial(n):
    if ( n == 1 or n == 0):
        return 1

    else:
        return n*Factorial(n-1)
        
print(Factorial(5))