Closed Set

Closed Set은 계속해서 나오는 중요한 개념이다.
실수 공간내에서 Closed set이 무슨 의미를 갖고 있을까?에 대해서 여럿 고민을 많이 하게 될 때가 많곤 했는데,

이는 뒤에서 나오는 함수 공간에서 중요성을 깨닳았다.
실수 공간내 Set에서는 우리가 직관으로 충분히 상상이 가능하기에 Closed set임을 보이는 것과는 별개로 단순하게 증명이 가능하다.

하지만, 함수 공간으로 넘어가게 되면 직관으로는 쉽게 납득하지 못하는 상황들이 온다. 이럴 때, Closed set의 속성을 이용하여 증명하게 되면, 쉽게 증명을 이끌어낼 수 있다.

Definition

closed set

A set $C \subset \R^n$ is said to be closed if $C^c := \{x\in \R^n : x \not\in C \}$, complement of $C$, is open.

해당 내용이 복잡해 보일 수는 있으나, $C$라는 subset이 closed set이 되게 하기 위해서는 $C$에 들어 있는 원소를 제외한 나머지 원소들에 대한 subset이 open set이 되면 해당 $C$는 closed set이라고 할 수 있다.

가령, $\R^n$에서 [1,2]는 closed set이다. 그 이유는 [1,2]를 제외한 나머지 구간 $(- \infin,1) \cup (2,\infin)$은 open set이 되기 때문이다. 해당 interval이 open임은 이전 포스트를 통해 확인 가능하다.

Example 1

• A subset of $\R^n$ that is open and closed (such a set is often called a clopen set) is either $\empty$ or $\R^n$

Proof)

1. $\empty$ is Closed set.

Let $S:=\R^n$. We know that $S$ is open set. Since $S$ contains an open ball around every point in $S$.

By the definition of closed set, $\R^n /S$ is open set.
Therefore, $\R^n /S = \empty$ is Closed set.

2. $\R^n$ is Closed set

Let $S:=\empty$. For $S$ to become Open set,
$\forall x \in S$ have $\epsilon$ such that $B(x,\epsilon) \subset S$.
But, No points exist in $\empty$. Therefore, It is Vacuously True.

We can conculde that $\empty$ is open set.
Therefore, $\R^n / \empty = \R^n$ is Closed set.

말장난 같은 증명이다. $\R^n$과 $\empty$가 Open set의 조건에 만족함을 보여준 다음, 그와 여집합인 $\empty$와 $\R^n$이 Closed set임으로 증명을 마친다.

Theorem

• The union of a finite number of closed subsets is closed
• The intersection of an arbitrary family of closed subsets is closed

1번은 유한 개의 Closed Set의 합 집합 또한 Closed set이 된다는 것이다.
너무 당연한게 실수 공간 내에서 Closed set은 양끝 점이 닫힌 구간이 될 것이다.
즉, [1,10]과 같이 닫혀있기 때문에 해당 set을 합집합한다해도 양 끝점이 닫혀 있는건 유지되기에 Closed set이 된다.

2번은 Closed set의 교집합은 Closed set이 된다는 것이다.
이는 어찌보면 당연하게 [1,10],[1,3],[2,5]의 union은 [2,3]이 될 것인데,
Closed set의 교집합은 어떻게 되든 닫히게 되니 Closed set이 당연히 되는 것으로 보인다.

Proof

1. The union of a finite number of closed subsets is closed

Let $I$ is a set of finite number of indices and $\forall C_{i \in I}$ is closed set.
we aim to prove $\cup_{i \in I} C_{i}$ is closed.

We know that $(\cup_{i \in I} C_{i})^c = \cap_{i \in I} C_i^c$.
Therefore, To prove that $\cup_{i \in I} C_{i}$ is closed is equal to prove that $(\cup_{i \in I} C_{i})^c$ is open.
and To prove that $(\cup_{i \in I} C_{i})^c$ is open is equal to prove that $\cap_{i \in I} C_i^c$ is open.

Since $C_i$ is closed set, $C_i^c$ is open set.
Let choose arbitrary $x$ in $\cap_{i\in I} C_i^c$. Then $x \in \forall C_{i \in I}^c$.
So, $\forall i \in I ~~\exist \epsilon_i >0$ such that $B(x,\epsilon_i) \subset C_i^c$.

Let $\epsilon:= \min(\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots, \epsilon_I)$.
Then, $\forall i\in I$ $B(x,\epsilon) \subset C_i^c$ and $B(x,\epsilon) \subset \cap_{i \in I} C_i^c$.

Therefore, we can conclude that $\cap_{i\in I} C_i^c$ is open set.
And back to the our purpose, Since $\cap_{i \in I} C_i^c$ is equal to $(\cup_{i \in I} C_i )^c$.
Then, $(\cup_{i \in I} C_i)^c$ is also open set.
And $\cup_{i \in I} C_i$ is closed set.

2. The intersection of an arbitrary family of closed subsets is closed

Let $C_i$ be closed sets labelled by arbitrary set of indices $i \in I$, possibly uncountable.
If we assume that each $C_i$ is closed. Then we need to prove that $\cap_{i\in I}C_i$ is closed.
we know that $(\cap_{i\in I} C_i)^c =\cup_{i\in I} C_i^c$.
So, proving $\cap_{i\in I} C_i$ is closed is equal to prove that $\cup_{i\in I} C_i^c$ is open.
Since $\forall C_{i \in I}^c$ is open, Let choose arbitrary $x \in \cup_{i \in I} C_i^c$.
$\cup_{i \in I} C_i^c$ is union of $C_i^c$. Therefore, The point $x$ belongs to some open set $C_l^c$.
Since we already know that $C_l^c$ is open, $\exist \epsilon>0$ such that $B(x,\epsilon) \subset C_l^c \subset \cup_{i \in I} C_i^c$.

Therefore, $\forall x \in \cup_{i \in I} C_i^c$ $\exist \epsilon>0$ such that $B(x,\epsilon) \subset \cup_{i \in I}C_i^c$.
We can conclude that $\cup_{i \in I} C_i^c$ is open.
So, $\cap_{i \in I}C_i^c$ is open.

개인적인 생각

Closed set에 대한 증명은 대부분 Open set의 증명으로 끝내려고 한다.
다음 Theorem도 찬찬히 읽어보면, 결국에는 Closed set을 뒤집어서(여집합) Open set으로 돌려 놓고 Open set 증명으로 끌고 간다.

결론적으로 Closed set 증명이 나오게 되면 이걸 어떻게 open set으로 바꿔버릴까? 가 중요한 아이디어가 될 거 같다.

Example

1번

Give a countable collection of closed sets whose union is not closed.

Solution

Countable collection은 말 그대로 셀 수 있다는 것이다. 하나 둘 셋 넷...
이를 좀 더 명확하게 정의하자면 자연수와 일대일 대응이 되냐는 것이다.

가령, 정수의 경우에는 -1,0,1,2,3,4,... 으로 되어 있기 때문에 무한대인 자연수와 일대일 대응이 될 수 있다.
유리수도 마찬가지이다. 유리수의 정의는 $p \over q$ $p,q \in \Z$이다. 그렇기에 이 또한 무한대인 자연수와 일대일 대응이 될 수 있다.
하지만, 실수의 경우에는 uncountable이다. 하나의 숫자와 다른 숫자 사이에 너무 많은 숫자가 있어 일대일 대응이 될 수 없기 때문이다.

다시 돌아가 우리는 앞선 Theorem에서 유한개의 집합의 합집합은 Closed set임을 증명하였다.
이는 자명하기에 다음 문제를 풀기 위해서는 무한개의 집합의 합집합이 Closed set이 아닌 것을 보여주면 된다.

$C_n = [{1 \over n},1]$ $n \in \N$으로 정해보면,
$C_n$은 countable collection of closed set이 된다.
그런데, $\cup_{n \in \N} C_n = \cup_{n \in N} [{1\over n},1] = (0,1]$ 이 된다.
그렇기에 해당 set은 closed가 아니므로 예시가 된다.