Interior of a set

Interior은 내부의 점이다. 어떠한 set이 존재한다고 할 때, 그 내부에 어떠한 원소들이 포함되어 있는가?에 대한 내용이라고 보면 된다. 가령 [1,2]의 set이 존재한다면, 해당 set의 interior는 (1,2)이 된다.
이게 필요한 이유는 Closed와 Open 정의를 명확하게 하기 위함이라고 생각이 드는데, 모든 원소들이 interior안에 들어간다면, 이는 Open이라고 볼 수 있기 때문이다.

Definition 1

For any set $A\sub R^n$, a point $x \in A$ is called an interior point of $A$ if there is an open set $U$ such that $x \in U \sub A$. The interior of $A$ is the collection of all interior points of $A$ and is denoted $int(A)$. This set might be empty.

수식으로 정확히 살펴보면,

$S \sub R^n$, a point $x\in S$ is called an interior point if $\exist \epsilon>0$ such that $B(x,\epsilon)\sub S$

즉, 어떠한 하나의 점이 interior point냐 아니냐는 해당 포인트에서 ball이 만들어지냐 안하냐로 판가름낸다는 것이다.

그렇다면 우리가 $S=[0,1]$과 같이 set이 주어졌을 때 interior point set을 어떻게 증명할 것이냐? 직관적으로 살펴보아도, $int(S)=(0,1)$임을 안다.

고로 우리는 $int(S) \sub (0,1)$, $(0,1)\sub int(S)$

이렇게 두 번의 증명을 통해 $int(S)$가 $(0,1)$임을 증명할 수 있다.

example

$S=\{x\in R^n, ||x||\le 1\}$

what is $int(S)$ ?

proof)

1. $B(0,1) \sub int(S)$

Let $x \in B(0,1)$,
Since $B(0,1)$ is open ball, there $\exists \epsilon>0$ such that $B(x,\epsilon)\sub B(0,1)$
Moreover, since $B(0,1) \sub S$, it follows that $B(x,\epsilon) \sub S$.
Thus $x$ is interior point of $S$.
Since $x \in B(0,1)$ was arbitrary, we conclude that $B(0,1) \sub int(S)$.

$B(0,1)$이 $int(S)$에 속하는지 보여주기 위해서는 $B(0,1)$에 고른 하나의 임의의 점 $x$가 $int(S)$ 조건을 만족하는지를 검토해주면 된다.
즉, $B(0,1)$이 open set임을 이용하여 임의로 뽑은 $x$를 중심으로 한 ball도 $B(0,1)$에 속하게 되며 $S$에도 속하게 된다.
고로, 해당 ball에 있는 모든 점들은 $int(S)$에 포함되게 되고, 그 중 하나로 $x$를 설정할 수 있다.

2. $int(S)\sub B(0,1)$

If $int(S) \sub B(0,1)$, then $S/B(0,1) \not\subset int(S)$.
$S/B(0,1) =\{ x \in \R^n:||x||=1\}$
If $S/B(0,1) \subset int(S)$, then $\forall x \in S/B(0,1),$ $\exists \epsilon >0$ such that $B(x,\epsilon) \subset int(S)$
Let $y:=x+{\epsilon \over 2||x||} x$
If then, $y \in B(x,\epsilon)$, However $||y||=||x+{\epsilon \over 2||x||} x|| = 1+{\epsilon \over 2}>1$
Thus $y \not\in S$. Therefore, $S/B(0,1)\not\subset int(S)$.
and, $int(S) \subset B(0,1)$

"A이면 B이다"는 "~B이면 ~A이다"와 동치이다.
해당 증명에서, "$x \in int(S)$라면, $x \in B(0,1)$이다."이므로,
"$x \in S/B(0,1)$이라면 $x\not \in int(S)$이다."로 끌고 가면된다. 우리는 이에 대해 증명을 하였으므로 그에 대한 대우또한 증명된 셈이다.

Theorem 1

For any set $S \subset \R^n$, $int(S)$ is open. Moreover, $int(S)$ is the largest open subset of $S$, meaning that

해당 Theorem을 살펴보면, $int(S)$ 는 $S$의 가장 큰 open subset이라는 것이다.

Proof

Let prove that $int(S)$ is open set and $int(S)$ is the largest open set among open sets in $S$.

1. $int(S)$ is open set.

Let pick us $x \in int(S)$. Since $x$ is element of $int(S)$, There exist $\epsilon>0$ such that $B(x,\epsilon) \subset S$.
Let pick us $y \in B(x,\epsilon)$ and Let $\epsilon':=\epsilon-d(x,y)$.
Then, $B(y,\epsilon') \subset B(x,\epsilon) \subset S$. Since, When we choose $z \in B(y,\epsilon')$.
$||z-x|| \le ||z-y||+||y-x||=\epsilon$.
Thus, $y \in int(S)$. We can conclude that $B(x,\epsilon) \subset int(S)$.
Therefore $int(S)$ is open set.

2. $int(S)$ is the largest open set

Let us pick arbitrary open set $O$ such that $O \subset S$. Since $O$ is open set, then $\exist \epsilon>0$ such that $B(x,\epsilon) \subset O$. also, we know that $O \subset S$ then, $B(x,\epsilon) \subset S$.
By the reason, $x$ is interior point of $S$. therefore, $O \subset int(S)$.
all arbitrary open set $O$ is subset of $int(S)$. Then $int(S)$ is the largest open set of $S$.

해석

1번

$int(S)$가 open set임을 증명하기 위해서는 $int(S)$에 속하는 $x$가 ball를 가질 수 있다는 것이다.
이를 위해서, interior의 정의를 이용하여서 증명을 진행하였다.
Interior의 정의에 의해 임의로 정한 $x$에 대해서 ball이 만들어지기에 open set임을 알 수 있었다.

2번

$int(S)$가 가장 큰 open set임을 증명해주기 위해서는 $S$에 존재하는 어떠한 open set $O$는 $int(S)$에 속함을 보여주는 방식으로 서술하였다.
$S$에 속하는 모든 임의의 ball은 interior 정의에 의해 $int(S)$에 포함된다는 것을 알게 되었고, 그렇기에 $int(S)$는 가장 큰 open set임을 알 수 있다.