수학에서의 서로소 집합

공통 원소가 없는 두 집합
e.g. {1,2} {3,4} -> 서로소 관계임 {1,2} {2,3} -> 서로소 관계가 아님

서로소 집합 자료구조

서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
-> 연산 : union + find

union

2개 원소로 이루어진 집합을 하나의 집합으로 합치기

find

특정 원소가 속한 집합이 뭔지 알려주는 연산

-> 서로소 집합 자료구조는 union + find 연산으로 구성되므로 union-find 자료구조라고 불리기도 함

서로소 집합 계산 알고리즘

동작 방법

1. union 연산 확인
   : 서로 연결된 두 노드를 확인
   1.1 A의 루트 노드 A'과 B의 루트 노드 B'를 찾기 (find)
   1.2 A'를 B'의 부모 노드로 설정 (A' < B')
2. 모든 union 연산을 처리할 때까지 1 반복

e.g.
{1,2,3,4,5,6}의 집합과 4개의 union 연산 union 1,4 union 2,3 union 2,4 union 5,6이 주어졌다.
이를 그래프로 표현하면,

위와 같이 구성됨을 알 수 있다.

이를 완성하기 위한 구체적인 알고리즘 동작 방법은 아래와 같다.

1. 부모 테이블 초기화
   노드의 개수 크기의 부모 테이블을 초기화 한다. 초기값은 자기 자신을 부모로 가지도록 설정한다.

   노드번호	1	2	3	4	5	6
   부모	1	2	3	4	5	6

2. 각각의 union 연산을 확인한다. -> union 1,4
   1과 4의 루트노드를 각각 찾는다. 현재 루트 노드는 각각 1과 4이므로 더 큰 번호인 루트 노드 4의 부모를 1로 설정

   노드번호	1	2	3	4	5	6
   부모	1	2	3	1	5	6

3. union 2,3

   노드번호	1	2	3	4	5	6
   부모	1	2	2	1	5	6

4. union 1,2

   노드번호	1	2	3	4	5	6
   부모	1	1	2	1	5	6

5. union 5,6

   노드번호	1	2	3	4	5	6
   부모	1	1	2	1	5	5

-> 모든 union 연산을 수행한 결과

소스코드

코드로 구현하면 아래와 같다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

문제점 : 비효율적인 find 함수

{1,2,3,4,5}의 집합에서 union 연산이 (4,5), (3,4), (2,3), (1,2)와 같다고 할때, 부모테이블은 다음과 같아진다.

노드번호	1	2	3	4	5
부모	1	1	2	3	4

이 경우 5의 루트노드를 찾기 위해서는 5->4->3->2->1 총 $O(V)$의 시간이 소요된다. 결과적으로 위의 find 함수를 그대로 사용하면 노드의 개수 V개, union나 find 연산의 개수 M개라고 할때 최악의 경우 $O(VM)$의 시간이 소요된다.

개선된 서로소 집합 알고리즘

경로 압축을 이용해서 최적화를 할 수 있다. find 함수를

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

와 같이 리턴값만 parent[x]로 수정해주면 된다.

개선된 알고리즘으로 위의 예제를 수행하면,

노드번호	1	2	3	4	5
부모	1	1	1	1	1

부모 테이블이 위와 같아지고, 루트노드에 더 빠르게 접근할 수 있다.

시간 복잡도

경로압축 방법을 사용한 결과의 시간 복잡도는 아래와 같다.
노드의 개수V개, 최대 V-1개의 union 연산과 M개의 find 연산을 수행할 때 시간복잡도는

$O(V+M(1+log_{2-M/V}/V))$

사이클 판별법

유니온파인드 알고리즘을 이용해서 무방향 그래프 내에서 사이클을 판별할 수 있다.

1. 각 간선을 확인하면서 두 노드의 루트노드를 확인한다.
   1.1 루트 노드가 서로 다르면 -> union 연산 수행
   1.2 루트 노드가 서로 같으면 cycle 발생
2. 모든 간선에 대해 1 반복

소스코드로 나타내면 아래와 같다

for i in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  # 사이클이 발생한 경우 종료
  if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
      cycle = True
      break
  # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
  else:
      union_parent(parent, a, b)