[미적분] 적분법

Kyeongmin·2024년 7월 22일

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본 글은 칸아카데미의 미적분 - 적분법에 대해서 공부하고 정리한 글입니다.

1. 적분

적분은 간단하게 말하자면 미분의 반대라고 말할 수 있다.
그럼 어떻게 적분을 하는지 알아보자.

아래에서 미적분의 기호가 나오는데, 기호의 의미가 잘 이해되지않아 아래 링크를 첨부한다.

먼저 부정적분이란, 어떠한 함수를 도함수로 하는 모든 함수를 구하는 연산을 말한다.
즉, 주어진 함수 $F(x)$ 를 미분하면 도함수 $f(x)$ 이고, 도함수 $f(x)$ 를 적분하면 $F(x)$ 이다.

또한 부정적분은 아래와 같이 고정된 함수와 임의의 상수 형태로 나타낼 수 있다.

\int f(x) \;dx \quad=\quad F(x)\;+\;C

1️⃣ 지수함수와 자연로그의 부정적분

\int \frac{1}{x} \;dx \quad=\quad \ln |\,x\,| \;+\; C \\\,\\ \int e^{x} \;dx \quad=\quad e^{x} \;+\; C \\\,\\ \int a^{x} \;dx \quad=\quad \frac{a^{x}}{\ln (a)} \;+\; C

$\ln \,x$ 의 경우 정의역이 $x>0$ 이나, $\frac{1}{x}$ 의 경우 정의역이 $x \neq 0$ 이기 때문에
부정적분 결과의 $\ln$ 에 절댓값 기호를 더해준다.

2️⃣ 삼각함수의 부정적분

\int (\sin t \;+\; \cos t)\;dt \;=\; \int \sin t \;\;dt \;+\; \int \cos t \;\;dt \;=\;-\cos t \;+\; \sin t \;+\; C

U 치환은 특정 식을 u 로 치환하여 문제를 푼다고 해서 U-치환이라고 불리며,
우리가 흔히 사용하는 치환 방식과 동일하다.

아래와 같이 복잡한 함수식이 있을 때,
합성함수의 미분 공식 $f(x)=h(g(x)) \;,\; f'(x)=h'(g(x))⋅g'(x)$ 을 응용해서
본래의 식에서 $g(x), g'(x)$ 의 형태를 찾아 이를 u로 치환하면 된다.

\begin{aligned} \int (3x^2 \,+\, 2x)\,e^{(x^3+x^2)} \,\partial x \;\quad&\cdots\quad\; u\,=\, x^3+x^2 \;\;,\;\; \frac{\partial \,u}{\partial \,x} \,=\,3x^2+2x \\\,\\ \int \frac{\partial \,u}{\partial \,x}\cdot e^{u}\cdot\partial x \;=\; \int e^{u}\cdot\partial \,u \;&=\; e^u \;+\; C \;\quad\cdots\quad\; \partial \,u = (3x^2+2x) \cdot \partial \,x \end{aligned}

2) U 치환 상수배 예시
3) U 치환 삼각함수+합성함수 예시

개발자가 되고 싶은 공장장이🛠