[미적분] 미분법

Kyeongmin·2024년 7월 9일

수학

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본 글은 칸아카데미의 미적분 - 미분법에 대해서 공부하고 정리한 글입니다.

1. 지수 함수 / 로그 함수의 미분

자연상수 $e$ 에 대한 지수 함수( $e^x$ )와 로그 함수( $\ln=\log_e$ )에 대한 도함수를 알아보자.

1.1. 지수 함수

자연 상수에 대한 지수 함수의 도함수는 본래의 함수와 동일하다.
이를 다르게 표현하면 $e^x=a$ 일 때, 이에 대한 기울기도 $a$ 이다.

$f(x) = e^x \quad,\quad f(x)'=e^x$

지수 함수 증명

위에 대한 내용은 아래와 같이 증명할 수 있다.

1️⃣ 먼저 자연 상수 $e$ 는 아래와 같이 정의할 수 있다.
$e\quad=\quad \lim_{n\rightarrow \infty} \, (1+\frac{1}{n})^{n} \quad=\quad \lim_{n\rightarrow 0} \, (1+n)^{\frac{1}{n}}$

2️⃣ 도함수의 정의를 이용하여 다음과 같이 수식을 전개할 수 있다.

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} [\,e^x\,] \;&=\; \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} \;=\; \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^x \cdot e^{\Delta x} - e^x}{\Delta x} \;=\; e^x \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \end{aligned}

3️⃣ $\Delta x$ 를 임의의 $n$ 에 관한 수식으로 바꿔준다.

\begin{aligned} n \;&=\; e^{\Delta x} \;-\;1 \quad\quad&\cdots\quad (1) \\ 1+n \;&=\; e^{\Delta x} &\cdots\quad (2) \\ \ln(1+n) \;&=\; \Delta x &\cdots\quad (3) \end{aligned}

위의 수식에 따라서 $\Delta x \rightarrow 0$ 인 경우, (1) 수식에 대입하면 알 수 있듯이 $n \rightarrow 0$ 이다.

4️⃣ 3번 식에 따라 2번 식의 $\Delta x$ 를 $n$ 에 관한 식으로 바꿔준다.

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} [\,e^x\,] \;&=\; e^x \,\lim_{n \rightarrow 0} \frac{n}{\ln (1+n)} \, \cdot \, \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \\ \;&=\; e^x \,\lim_{n \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{n}\ln (1+n)} \quad\quad &※ \;a \ln(b) \,=\, \ln(b^a) \\ \;&=\; e^x \,\lim_{n \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (\,(1+n)^{\frac{1}{n}}\,)} \\ \;&=\; e^x \, \frac{1}{\ln (\, \lim_{n \rightarrow 0}(1+n)^{\frac{1}{n}}\,)} &※ \; e \,=\, \lim_{n\rightarrow 0} \, (1+n)^{\frac{1}{n}} \\ \;&=\; e^x \, \frac{1}{\ln (e)} \;=\; e^x \cdot\frac{1}{1} \;=\; e^x \end{aligned}

그럼 위의 전개를 통해서 $\frac{\partial}{\partial x} [\,e^x\,] \;=\;e^x$ 임을 알 수 있다.

1.2. 로그 함수

자연 상수에 대한 로그 함수의 도함수는 아래와 같다.
이를 다르게 표현하면 $\ln x=a$ 일 때, 이에 대한 기울기는 $\frac{1}{a}$ 이다.

$f(x) = \ln x \quad,\quad f(x)'=\frac{1}{x}$

로그 함수 증명

위에 대한 내용은 아래와 같이 증명할 수 있다.

1️⃣ 도함수의 정의를 이용하여 다음과 같이 수식을 전개할 수 있다.

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} [\,\ln x\,] \;&=\; \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+\Delta x) - \ln (x)}{\Delta x} \quad\quad\quad&※ \ln a\,-\, \ln b \, = \, \ln\frac{a}{b} \\ \;&=\; \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln (\frac{x+\Delta x}{x}) }{\Delta x} \\ \;&=\; \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x}\cdot\ln (1+\frac{\Delta x}{x}) &※ \;a \ln(b) \,=\, \ln(b^a) \\ \;&=\; \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln (\, (1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}} \,) \end{aligned}

2️⃣ $\Delta x$ 를 임의의 $n$ 에 관한 수식으로 바꿔준다.

\begin{aligned} n \;&=\; \frac{\Delta x}{x} \quad\quad&\cdots\quad (1) \\ nx \;&=\; \Delta x &\cdots\quad (2) \\ \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{x} \;=\;\frac{1}{nx} \;&=\; \frac{1}{\Delta x} &\cdots\quad (3) \end{aligned}

위의 수식에 따라서 $\Delta x \rightarrow 0$ 인 경우, (1) 수식에 대입하면 알 수 있듯이 $n \rightarrow 0$ 이다.

3️⃣ 2번 식에 따라 1번 식의 $\Delta x$ 를 $n$ 에 관한 식으로 바꿔준다.

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} [\,\ln x\,] \;&=\; \lim_{n \rightarrow 0} \ln (\, (1+n)^{\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{x}} \,) \\ \;&=\; \frac{1}{x}\;\lim_{n \rightarrow 0} \ln (\, (1+n)^{\frac{1}{n}} \,) \\ \;&=\; \frac{1}{x}\; \ln (\,\lim_{n \rightarrow 0} (1+n)^{\frac{1}{n}} \,) &※ \; e \,=\, \lim_{n\rightarrow 0} \, (1+n)^{\frac{1}{n}} \\ \;&=\; \frac{1}{x}\; \ln (e) \;=\; \frac{1}{x} \end{aligned}

지수 함수의 증명과 마찬가지로 위의 전개를 통해서 $\frac{\partial}{\partial x} [\,\ln x\,] \;=\;\frac{1}{x}$ 임을 알 수 있다.

2. 삼각 함수의 미분

2.1. 삼각 함수의 덧셈 정리

기본적인 삼각함수의 덧셈 공식에 대해서 짚고 넘어가보자.

\begin{aligned} \quad \sin(-a) \;&=\; -\sin(a) \\ \cos(-a) \;&=\; \cos(a) \\ \,\\ \quad \sin(a+b) \;&=\; \sin(a)\cdot\cos(b) + \sin(b)\cdot\cos(a) \\ \quad \sin(a-b) \;&=\; \sin(a)\cdot\cos(b) -\sin(b)\cdot\cos(a) \\ \,\\ \quad \cos(a+b) \;&=\; \cos(a)\cdot\cos(b) - \sin(b)\cdot\sin(a) \\ \quad \cos(a-b) \;&=\; \cos(a)\cdot\cos(b) +\sin(b)\cdot\sin(a) \\ \,\\ \end{aligned}

2.2. 삼각 함수의 배각 정리

이 부분은 $\cos(2a)=\cos(a+a),\;\sin(2a)=\sin(a+a)$ 으로 치환해서 풀 수 있다.

\begin{aligned} \cos(2a) \;&=\; \cos ^2 (a) - \sin ^2 (a) \\ \;&=\; 2\cos^2(a) - 1 \\ \;&=\; 1 - 2\sin^2(a) \\ \sin(2a) \;&=\; \sin(a)\cos(a) + \sin(a)\cos(a) \\ \;&=\; 2\sin(a)\cos(a) \end{aligned}

2.3. 삼각 함수의 극한

주요 삼각 함수( $\sin, \cos, \tan$ )의 극한에 대해서 구하면 아래와 같다.

\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow\pi} \sin(x) \;&=\; \sin(\pi) \;=\; 0 \\ \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}} \cos(x) \;&=\; \cos(\frac{\pi}{4}) \;=\; \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \lim_{x\rightarrow\pi} \tan(x) \;&=\; \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)} \;=\; 0 \\ \,\\ \end{aligned}

추가로 삼각 함수의 역수( $\csc, \sec, \cot$ )에 대해서도 한번 짚고 넘어가자.

\begin{aligned} \csc(x) \;=\; \frac{1}{\sin(x)} \quad,\quad \sec(x) \;=\; \frac{1}{\cos(x)} \quad,\quad \cot(x) \;=\; \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \end{aligned}

2.4. 삼각 함수의 도함수

삼각 함수의 도함수를 구해보면, $\sin$ 과 $\cos$ 이 서로 관련이 있다는 재밌는 특징이 있다.

\frac{\partial}{\partial x}\sin(x) \;=\; \cos(x) \quad,\quad \frac{\partial}{\partial x}\cos(x) \;=\; -\sin(x) \quad,\quad \frac{\partial}{\partial x}\tan(x) \;=\; \sec^2(x) \\\,\\ \frac{\partial}{\partial x}\csc(x) \;=\; -\cot(x)\csc(x) \;,\; \frac{\partial}{\partial x}\sec(x) \;=\; \tan(x)\sec(x) \;,\; \frac{\partial}{\partial x}\cot(x) \;=\; -\csc^2(x)

3. 미분의 다양한 공식

3.1. 곱의 미분법 (Product Rule)

f(x)=u(x) \cdot v(x) \quad,\quad f'(x)=u'(x)\,v(x)\;+\;u(x)\,v'(x)

3.2. 몫의 미분법 (Quotient Rule)

f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \quad,\quad f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)\;-\;u(x)\,v'(x)}{[\,v(x)\,]^2}

3.3. 합성함수의 미분법

f(x)=h\big(\,g(x) \,\big) \quad,\quad f'(x)=h'\big(\,g(x) \,\big) \cdot g'(x)

3.4. 자연 로그/상수를 이용한 미분법

\frac{\partial}{\partial x}[\,a^x\,] \,=\, \ln a \,\cdot\, a^x \quad,\quad \frac{\partial}{\partial x}[\, \log_a x \,] \,=\, \frac{1}{(\ln a) \,\cdot\, x}

위 미분법에 대한 풀이는 아래와 같다.

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}[\,a^x\,] \,&=\, \frac{\partial}{\partial x}[\, (e^{\ln a})^x\,] \,=\, \frac{\partial}{\partial x}[\, e^{\ln a\,\cdot\, x}\,]\quad\quad\dots \quad\text{using Chain Rule} \\\,\\\,&=\, \frac{\partial}{\partial \ln a\,\cdot\, x}[\, e^{\ln a\,\cdot\, x}\,] \;\cdot\; \frac{\partial}{\partial x}[\,\ln a\,\cdot\, x \,] \\\,\\\,&=\, e^{\ln a\,\cdot\, x} \,\cdot\, \ln a \;=\; (\ln a) \,\cdot\, e^{\ln a\,\cdot\, x} \\\,\\\,&=\, (\ln a) \,\cdot\, a^x \\\,\\\,\\\, \frac{\partial}{\partial x}[\, \log_a x \,] \,&=\, \frac{\partial}{\partial x}[\, \frac{\ln x}{\ln a} \,] \,=\, \frac{1}{\ln a} \,\cdot\, \frac{\partial}{\partial x}[\, \ln x \,] \\\,\\\,&=\, \frac{1}{\ln a} \,\cdot\, \frac{1}{x} \,=\, \frac{1}{(\ln a) \,\cdot\, x} \end{aligned}

4. 음함수의 미분

보통의 양함수 또는 명시적(Explicit) 함수는 $y=f(x)$ 형태로 표현되지만,
음함수(Implicit Function)은 두 변수 $x,y$ 사이의 관계로 정의되고
$f(x,y)=0$ 와 같은 형태로 표현된다.

음함수의 미분에서는 변수 $y$ 를 $x$ 에 대한 함수로 간주한 뒤 미분하여 $\frac{\partial y}{\partial x}$ 를 구한다.

4.1. 음함수의 도함수

$x^2 \,+\, y^2 \,=\,1$ 식을 가지고 $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하려면,
아래와 같이 양변을 모두 미분함으로써 $\frac{\partial y}{\partial x}$ 를 찾아낼 수 있다.

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}[\, x^2 \,+\, y^2 \,] \,&=\, \frac{\partial}{\partial x}[\,1\,] \\\,\\ \frac{\partial}{\partial x}[\, x^2 ] \,+\, \frac{\partial}{\partial x}[\, y^2 \,] \,&=\,0 \\\,\\ 2x \,+\, \frac{\partial y^2}{\partial y} \,\cdot\, \frac{\partial y}{\partial x} \,&=\,0 \quad\quad\dots\quad\quad \text{Composite Function} \\\,\\ 2x \,+\, 2y \,\cdot\, \frac{\partial y}{\partial x} \,&=\,0 \\\,\\ \frac{\partial y}{\partial x} \,&=\, \frac{-2x}{2y} \,=\, -\frac{x}{y} \\\,\\ \end{aligned}

음함수의 성질

위와 같이 음함수를 미분한 결과는 양함수를 미분한 결과와 같다.
음함수 $\,x\sqrt y \,=\, 1$ 와 양함수 $y \,=\, x^{-2}$ 는 같은 식이며, 이를 미분한 결과는 같다.

4.2. 역함수의 도함수

$f(x),\,g(x)$ 가 있을 때 2개의 함수가 서로 역함수라면,
$g(x)\,=\,f^{-1}(x) \quad, \quad g(f(x)=x$ 이며, 도함수에서는 $f'(x)\,=\,\frac{1}{g'(f(x))}$ 의 관계를 가진다.
이는 아래 식을 통해 확인할 수 있다.

\begin{aligned} g(f(x)) \,&=\, x \\\,\\ \frac{\partial}{\partial x} [\, g(f(x)) \,] \,&=\, \frac{\partial}{\partial x} [\,x\,] \\\,\\ g'(f(x)) \,\cdot\, f'(x) \,&=\, 1 \\\,\\ f'(x) \,&=\, \frac{1}{g'(f(x))} \end{aligned}

5. 매개변수 방정식의 미분

매개변수 방정식이란, 아래와 같이 어떠한 매개변수( $t$ )를 통해 다른 함수( $x,y$ )가 정의되는 것을 말한다.

x \,=\, 2 \sin(1+3t) \quad,\quad y \,=\, 2t^3

위와 같은 식에서 $\frac{\partial y}{\partial x}$ 를 구한다고 했을 때,
함수 $x, y$ 모두 $t$ 에 관한 함수이기 때문에 $\frac{\partial y}{\partial x} \,=\, \frac{\partial y}{\partial t} \div \frac{\partial x}{\partial t}$ 를 통해 계산할 수 있다.

\begin{aligned} \frac{\partial y}{\partial x} \,&=\, \frac{\partial }{\partial t} 2t^3\;\div\; \frac{\partial }{\partial t} 2 \sin(1+3t) \\\;\\ \,&=\, 6t^2 \;\div\; (\,2 \cos(1+3t) \cdot 3 \,) \\\;\\ \,&=\, \frac{6t^2}{6 \cos(1+3t)} = \frac{t^2}{\cos(1+3t)} \end{aligned}

6. 이계도함수

이계도함수란, 단순히 미분을 2번 연이어 하는 것을 말하며, 아래와 같이 표기한다.

\frac{\partial^2\;y}{\partial x ^2} \;=\; \frac{\partial}{\partial x} \big[\, \frac{\partial}{\partial x} [\, y \,] \,\big] \quad\quad\dots\quad\quad \frac{\partial^2}{\partial x ^2} 6x^{-2} \;=\; 36x^{-4}

참고로 이계도함수의 라그랑주 표기법은 $f''$ , 라이프니츠 표기법은 $\frac{\partial^2\;y}{\partial x ^2}$ 이다.

7. 극대/극소값

함수에서 극대값은 어떠한 구간에서 가장 큰값이고, 극소값은 가장 작은값을 의미한다.

극대값과 극소값 지점에서의 도함수(기울기) 값은 0이 나오게 되는데,
더 자세히 살펴보면 극대값 이전의 함수값은 증가하고 있고, 이후의 함수값은 감소한다.
반대로 극소값 이전의 함수값은 감소하고, 이후의 함수값은 증가함을 알 수 있다.

극대/극소값 구하기
어떠한 함수가 주어졌을때, 도함수가 0이 되는 지점을 구할 수 있는데
이를 임계점(critical point)라고 말한다.

\begin{aligned} g(x) \,&=\, x^4 \,-\, x^5 \\ g'(x) \,&=\, 4x^3 \,-\, 5x^4 \,=\, x^3(4-5x) \\ g'(x) \,&=\, 0\iff x=0 \;\text{or}\; \frac{4}{5} \end{aligned}

위 예제에서는 $x=0 \;\text{or}\; \frac{4}{5}$ 일때 도함수의 값이 $0$ 이 되고,
2개의 지점이 임계점이라고 말할 수 있다.

다만 어떤 지점이 극대값이고 극소값인지 알기 위해서는 각 구간에서의 도함수(기울기) 값을 알아야 하는데,
아래의 그림처럼 위에서 구한 지점의 양쪽에 존재하는 임의 지점의 도함수 값을 구함으로써 알 수 있다.

8. 함수의 오목성/변곡점

8.1. 오목성(Concavity)

오목성이란, 함수의 형태가 아래로 오목거나 위로 오목한(=볼록한) 경우를 말한다.

위의 그림을 보면 위에서 아래 순으로 함수, 일계도함수, 이계도함수이며
아래와 같이 서로 오목성(Concavity)에 대한 관련성을 가진다.

1️⃣ 위로 오목(Concave upwards, ≈ 볼록)
함수 $f(x)$ 에서 기울기가 점점 감소한다면,
일계도함수 $f'(x)$ 또한 점점 감소하며 이계도함수 $f''(x) < 0$ 이다.

2️⃣ 아래로 오목(Concave downwards)
함수 $f(x)$ 에서 기울기가 점점 증가한다면,
일계도함수 $f'(x)$ 또한 점점 증가하며 이계도함수 $f''(x) > 0$ 이다.

8.2. 변곡점(Inflection Point)

변곡점이란, 함수의 형태가 오목 → 볼록, 또는 볼록 → 오목으로 바뀌는 지점을 말한다.
이는 이계도함수 $f''(x)$ 의 값이 양 → 음, 또는 음 → 양으로 바뀌는 지점이다.

Kyeongmin

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