본 글은 "응용이 보이는 선형대수학" 책을 읽고 정리한 글입니다.

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1. 역행렬

1) 정의

• $\textbf{A}\textbf{B}\,=\,\textbf{B}\textbf{A}\,=\,\textbf{I}_n$ 를 만족하는 행렬 $\textbf{B}$를 $\textbf{A}$의 역행렬이라고 한다.
• $\textbf{A}$의 역행렬은 $\textbf{A}^{-1}$으로 나타낼 수 있다.

2) 역행렬의 특징

• 가역성 : 역행렬이 존재할 때 행렬은 가역이라 하고, 그렇지 않으면 비가역이라고 한다.
• 유일성 : $n$차 정방행렬 $\textbf{A}$가 가역이면, $\textbf{A}$의 역행렬은 유일하다.

3) 2 X 2 행렬의 역행렬

4) 역행렬의 성질

$n$차 정방행렬 $\textbf{A},\;\textbf{B}$가 가역이고, $\alpha$는 0이 아닌 스칼라일 때, 다음 성질을 만족한다.

• $\textbf{A}^{-1}$는 가역이고, $(\textbf{A}^{-1})^{-1}\;=\;\textbf{A}$ 이다.
• $\textbf{A}\textbf{B}$는 가역이고, $(\textbf{A}\textbf{B})^{-1}\;=\;\textbf{B}^{-1}\textbf{A}^{-1}$ 이다.
• $\alpha\textbf{A}$는 가역이고, $(\alpha\textbf{A})^{-1}\;=\;\frac{1}{\alpha}\textbf{A}^{-1}$ 이다.
• $\textbf{A}^k$은 가역이고, $(\textbf{A}^{-1})^{k}\;=\;(\textbf{A}^k)^{-1}$ 이다.

2. 특별한 행렬

1) 전치행렬

• 정의 : 행과 열이 바뀐 행렬, $\textbf{A}$의 전치행렬은 $\textbf{A}^T$으로 나타낸다.

2) 대칭행렬과 반대칭행렬

• 정의
  • 대칭행렬 : 정방행렬 $\textbf{A}$가 자신의 전치행렬 $\textbf{A}^T$와 같은 행렬
  • 반대칭행렬 : 정방행렬 $\textbf{A}$가 $\textbf{A}^T\,=\,-\textbf{A}$인 행렬
• 전치행렬과 대칭행렬 간의 특징
  1. $\textbf{A} + \textbf{A}^T$는 대칭행렬이고, $\textbf{A} - \textbf{A}^T$는 반대칭행렬이다.
  2. $\textbf{A} \,=\, \frac{1}{2}(\textbf{A} + \textbf{A}^T) \,+\, \frac{1}{2}(\textbf{A} -\textbf{A}^T)$ 이다.

3) 대각행렬

• 정의 : 주대각 성분 이외의 성분이 모두 0인 정방행렬
• 대각행렬의 특징
  1. 대각행렬 간의 곱의 결과는 대각행렬이다.
     $\begin{bmatrix} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & 0 \\ 0 & b_{22} \\ \end{bmatrix} \quad=\quad \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} & 0 \\ 0 & a_{22}b_{22} \\ \end{bmatrix}$
  2. 대각행렬과 행렬의 곱
     $\textbf{D}_2\textbf{A} \quad=\quad \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \quad=\quad \begin{bmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} \\ 3a_{21} & 3a_{22} \\ \end{bmatrix}$
     $\textbf{A}\textbf{D}_2 \quad=\quad \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix} \quad=\quad \begin{bmatrix} 2a_{11} & 3a_{12} \\ 2a_{21} & 3a_{22} \\ \end{bmatrix}$
• 대각합
  : 정방행렬의 주대각 성분의 합 $tr(\textbf{A}) \,=\, a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$
• 대각합의 특징
  1. $tr(\textbf{AB}) \,=\, tr(\textbf{BA})$
  2. $tr(\textbf{ABC}) \,=\, tr(\textbf{CAB}) \,=\, tr(\textbf{BCA})$

4) 삼각행렬

• 정의
  • 상삼각행렬 : 주대각 성분 아래쪽의 모든 성분이 0인 정방행렬
  • 하삼각행렬 : 주대각 성분 위쪽의 모든 성분이 0인 정방행렬
• 삼각행렬의 특징
  • 상삼각행렬간의 곱은 상삼각행렬, 하삼각행렬간의 곱은 하삼각행렬이다.