본 글은 "응용이 보이는 선형대수학" 책을 읽고 정리한 글입니다.

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1. 연립선형방정식

• 선형방정식 : 차수가 1인 방정식
• 연립선형방정식 : 특정 미지수에 대한 선형방정식이 모여 있는 것
  • 불능(모순) : 해가 없는 경우
  • 부정 : 해가 무수히 많은 경우

2. 연립선형방정식의 풀이법

1) 대입법과 소거법

• 대입법 (특정 미지수를 다른 미지수들의 식으로 표현해서 계산하는 방법)
• 소거법 (연산을 이용해 특정 미지수를 없애는 식으로 계산하는 방법)

2) 행렬

• 행렬방정식 (연립선형방정식의 행렬 표현)
  • 연립 선형 방정식 예시
    $\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 \\ 3x_1 - 2x_2 + 3x_3 = -1 \\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 4 \end{cases}$
  • 행렬 방정식 예시
    $\textbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & -3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad,\quad x = \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ \end{bmatrix} \quad,\quad b = \begin{bmatrix} 3\\ -1\\ 4\\ \end{bmatrix}$
    $\textbf{A}$ = 계수행렬, $b$ = 상수벡터
  • 피벗 : 각 행의 맨 왼쪽에 있는 0이 아닌 성분
• 첨가 행렬
  계수행렬과 상수벡터를 묶어 간단히 표현시킨 행렬
  $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -2 \\ 3 & -2 & -3 & 1 \end{array}\right]$
• 행 사다리꼴 행렬
  • 모든 성분이 0인 행은 맨 아래에 위치한다.
  • 모든 행의 피벗은 위쪽 행의 피벗보다 오른쪽 열에 있다.
  • 모든 피벗은 1이고, 피벗 아래쪽의 모든 성분은 0이다.
• 기약행 사다리꼴 행렬
  • 모든 피벗이 해당 열에서 0이 아닌 유일한 성분인 행 사다리꼴 행렬

3) 가우스-조단 소거법

: 연립선형방정식을 행렬방정식 형태로 변환한 뒤 행 연산을 통해 해를 구하는 방법

• 풀이 과정
  ① 연립선형방정식을 첨가행렬로 변환
  ② 행 연산을 통해 기약행 사다리꼴 행렬로 변환
  ③ 계수행렬과 상수벡터 값을 통해 선형방정식의 해 구하기
• 해의 유형별 풀이 결과
  • 해가 1개인 경우
    기약행 사다리꼴 행렬이 아래와 같을 때, 해는 $x_1=2,\; x_2=0,\; x_3=1$ 이다.
    $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]$
  • 불능: 해가 없는 경우
    어떠한 행의 계수행렬 값은 모두 0이지만 상수벡터의 값은 0이 아닐 때, 해는 존재하지 않는다.
    $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 2 \\ 0 & -9 & 9 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right]$
  • 부정: 해가 무수히 많은 경우
    어떠한 행의 계수행렬과 상수벡터의 값이 모두 0일 때, 해는 무수히 존재한다.
    $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -7 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$

3. 연립선형방정식의 응용

1) 다항식 곡선 맞춤 (polynomial curve fitting)

• 정의 : n개의 점이 있을 때, 점들을 지나가는 m차 다항식을 찾는 것
• 풀이
  • 문제 : 점 (1,4), (2,0), (3,12)를 지나는 다항식 $p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2$ 찾기
  • 계산
    1) 점 x,y를 이용한 방정식 도출
    $\begin{aligned} p(1) &= a_0\,+\,a_1\cdot1+a_2\cdot1^2=a_0\,+\,a_1\,+a_2\,=4\\ p(2) &= a_0\,+\,a_1\cdot2+a_2\cdot2^2=a_0\,+\,2a_1\,+4a_2\,=0\\ p(3) &= a_0\,+\,a_1\cdot3+a_2\cdot3^2=a_0\,+\,3a_1\,+9a_2\,=12 \end{aligned}$
    2) 첨가행렬 형태로 변환
    $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 9 & 12 \end{array}\right]$
    3) 기약행 사다리꼴 형태로 변환
    $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 1 & 0 & -28 \\ 0 & 0 & 1 & 8 \end{array}\right]$
    4) 엽립선형방정식의 해 도출
    $a_0=24,\,a_1=-28,\,a_2=8\\ p(x)=24\,-\,28x\,+\,8x^2$

2) 네트워크 분석

• 정의 : 지선과 교차점으로 이루어져있는 네트워크를 방정식으로 표현하여 계산
• 예시 : 교통량 분석, 전기 회로 분석 등