본 글은 "응용이 보이는 선형대수학" 책을 읽고 정리한 글입니다.

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1. 행렬식

1) 행렬식의 정의와 계산

1. 행렬식이란?
   • 정의 : 정방행렬 $\textbf{A}$ 실수값으로 대응시키는 함수이다.
     역행렬이 존재하면 0, 그렇지 않으면 0이 아닌 값을 가진다. det($\textbf{A}$) 또는 $|\textbf{A}|$로 표기한다.
   • 행렬식의 활용
     ① 가역행렬 여부의 판단 및 역행렬 계산
     ② 선형변환에서의 넓이 또는 부피의 변화율 계산
     ③ 연립선형방정식 해 계산
     ④ 고윳값과 고유벡터의 계산
2. 1 X 1 ~ 3 X 3 행렬의 행렬식
   $\textbf{A}_1\,=\, \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} \quad,\quad \textbf{A}_2\,=\, \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \quad,\quad \textbf{A}_3\,=\, \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$
   • 1 X 1 행렬 : $det(\,A_1\,) = a$
   • 2 X 2 행렬 : $det(\,A_2\,) = ad-bc$
   • 3 X 3 행렬 : $det(\,A_3\,) =\\ a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$
     ※ 위와 같은 수식을 통해 3 X 3 행렬의 행렬식을 구하는 방법을 Sarus 방법이라고 한다.

2) 행렬식의 일반화

1. 소행렬식
   • 정의 : 행렬 $\textbf{A}$에서 성분 $a_{ij}$가 있는 $i$행과 $j$열을 제거한 행렬의 행렬식을 $\textbf{A}_{ij}$로 표현하고,
     이를 $a_{ij}$의 소행렬식이라고 한다.
   • 예시
     $\textbf{A}_{11} = det \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix} \quad\quad \textbf{A}_{12} = det \begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$
   • 소행렬식을 이용한 3 X 3 행렬의 행렬식 표현
     • 행을 이용한 표현 : $det(\textbf{A}_3) \,=\, a_{11}\textbf{A}_{11} - a_{12}\textbf{A}_{12} + a_{13}\textbf{A}_{13}$
     • 열을 이용한 표현 : $det(\textbf{A}_3) \,=\, a_{11}\textbf{A}_{11} - a_{21}\textbf{A}_{21} + a_{31}\textbf{A}_{31}$
2. 라플라스 전개
   • $n \times n$ 행렬의 행렬식 $det(\textbf{A})$는
     성분 $a_{ij}$와 소행렬식 $\textbf{A}_{ij}$의 곱에 $(-1)^{i+j}$을 곱한 값의 합으로 표현할 수 있다.
   • $n \times n$ 행렬의 행렬식에 대한 라플라스 전개
     • $i$행을 기준으로 한 행렬식 : $det(\textbf{A})=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{i+k}a_{ik}\textbf{A}_{ik}$
     • $j$열을 기준으로 한 행렬식 : $det(\textbf{A})=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+j}a_{kj}\textbf{A}_{kj}$
3. 여인수 전개
   • 여인수(cofactor) 정의
     : $a_{ij}$의 소행렬식 $\textbf{A}_{ij}$와 $(-1)^{i+j}$을 곱한 것을 $a_{ij}$ 여인수라고 한다. ($\textbf{C}_{ij}$로 표기)
     $\textbf{C}_{ij} \,=\, (-1)^{i+j}\textbf{A}_{ij}$
   • $n \times n$ 행렬의 행렬식에 대한 여인수 전개
     • $i$행에 대한 여인수 전개 : $det(\textbf{A})=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}\textbf{C}_{ij}$
     • $j$열에 대한 여인수 전개 : $det(\textbf{A})=\sum\limits_{i=1}^na_{ij}\textbf{C}_{ij}$

2. 행렬식의 성질

1) 행/열 연산에 대한 행렬식

• 한 행(또는 열)에 스칼라릅 곱한 행렬의 행렬식
  $\textbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \quad\dots\quad det(\textbf{B}) = det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ ca_{21} & ca_{22} \\ \end{bmatrix} = c\,det(\textbf{A})$
• n차 정방행렬에 스칼라배한 행렬의 행렬식
  $det(k\textbf{A}) = det \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} \\ ka_{21} & ka_{22} \\ \end{bmatrix} = k^n\,det(\textbf{A})$
• 한 행(또는 열)에 서로 다른 두 행렬을 더하여 만든 행렬의 행렬식
  $\textbf{A}_1 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ x_{21} & x_{22} \\ \end{bmatrix} \;,\; \textbf{A}_2 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ y_{21} & y_{22} \\ \end{bmatrix} \quad\dots\quad det(\textbf{B}) = det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ x_{21}+y_{21} & x_{22}+y_{22} \\ \end{bmatrix} = det(\textbf{A}_1)+det(\textbf{A}_2)$
• 두 행(또는 열)을 서로 교환한 행렬의 행렬식
  $\textbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \quad\dots\quad det(\textbf{B}) = det \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} & a_{12} \\ \end{bmatrix} \,=\, -det(\textbf{A})$
• 중복 행(또는 열)을 갖는 행렬의 행렬식
  $det(\textbf{A}) = det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{11} & a_{12} \\ \end{bmatrix} \,=\, 0$
• 행(또는 열)의 스칼라배를 다른 행(또는 열)에 더한 행렬식
  $\textbf{A} = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ \end{bmatrix} \quad\dots\quad det(\textbf{B}) = det \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2}+ka_{3} & a_{3} \\ \end{bmatrix} \,=\, det(\textbf{A})$

2) 특수한 행렬에 대한 행렬식

• 전치행렬의 행렬식
  : $det(\textbf{A}) \,=\, det(\textbf{A}^T)$
• 단위행렬의 행렬식
  : $det(\textbf{I}_n) \,=\, 1$
• 기본행렬의 행렬식
  • 행을 교환하는 기본행렬 $\textbf{E}_1$ : $det(\textbf{E}_1) = -1$
  • 한 행을 k($\ne 0$)배하는 기본행렬 $\textbf{E}_2$ : $det(\textbf{E}_2) = k$
  • 어떤 행의 상수배를 다른 행에 더하는 기본행렬 $\textbf{E}_3$ : $det(\textbf{E}_3) = 1$
• 기본행렬을 곱한 행렬의 행렬식
  : $det(\textbf{EA}) \,=\, det(\textbf{E})\,det(\textbf{A})$
• 한 행(또는 열)의 성분이 모두 0인 행렬의 행렬식
  : $det\begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \textbf{0} \\ \end{bmatrix} \,=\, 0$
• 행렬 곱의 행렬식
  : $det(\textbf{AB}) \,=\, det(\textbf{A})\,det(\textbf{B})$
• 삼각행렬과 대각행렬의 행렬식
  : $det(\textbf{A}) \,=\,$주대각 성분의 곱
• 역행렬의 행렬식
  : $det(\textbf{A}^{-1}) \,=\, \frac{1}{det(\textbf{A}^{-1})}$

3. 행렬식의 기하학적 의미

• 평행사변형의 넓이
  : 2차원 행렬의 행렬식의 절댓값은 평행사변현의 넓이와 같다.
  $|ad-bc| = (0,0), (a,c), (b,d), (a+b,c+d)\,$를 꼭짓점으로 하는 평행사변형의 넓이
• 평행육면체의 부피
  : 3차원 행렬의 행렬식의 절댓값은 평행육면체의 부피와 같다.
  $|aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh| = (0,0,0), (a,d,g), (b,e,h), (c,f,i), (b+c,e+f,h+i), \\(a+c,d+f,g+i), (a+b,d+e,g+h), (a+b+c,d+e+g,g+h+i)\\$ 를 꼭짓점으로 하는 평행육면체의 부피
• 평면의 방정식
  : 서로 다른 세 점 $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3)\,$를 지나는
  평면 방정식 $ax+by+cz+d=0\,$ 에 대해 아래 행렬식이 성립한다.
  $det \begin{bmatrix} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ \end{bmatrix} \,=\, 0$
• 이차곡선의 방정식
  : 서로 다른 세 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\,$를 지나는
  이차곡선의 방정식 $a(x^2+y^2)+bx+cy+d=0\,$ 에 대해 아래 행렬식이 성립한다.
  $det \begin{bmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x^2_1 + y^2_1 & x_1 & y_1 & 1 \\ x^2_2 + y^2_2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x^2_3 + y^2_3 & x_3 & y_3 & 1 \\ \end{bmatrix} \,=\, 0$

4. 행렬식의 활용

1) 수반행렬

• 정의
  정방행렬 $\textbf{A}$의 여인수를 성분으로 갖는 행렬의 전치행렬을 수반행렬이라 하고 아래와 같이 표기한다.
  $adj\textbf{A} \,=\, \begin{bmatrix} \textbf{C}_{11} & \cdots & \textbf{C}_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \textbf{C}_{n1} & \cdots & \textbf{C}_{nn} \\ \end{bmatrix}^T \,=\, \begin{bmatrix} \textbf{C}_{11} & \cdots & \textbf{C}_{n1} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \textbf{C}_{1n} & \cdots & \textbf{C}_{nn} \\ \end{bmatrix}$
• 행렬과 수반행렬의 곱 : $\textbf{A} \cdot adj\textbf{A} \,=\, |\textbf{A}|\textbf{I}$

2) 수반행렬을 이용한 역행렬 계산

• 수반행렬과 역행렬 : $\textbf{A}^{-1} \,=\, \frac{1}{|\textbf{A}|} \, adj\textbf{A}$
• 수반행렬의 행렬식 : $|adj\textbf{A}| \,=\, |\textbf{A}|^{n-1}$
• 가역행렬과 수반행렬 : $adj(\textbf{A}\textbf{B}) \,=\, adj(\textbf{B}) \, adj(\textbf{A})$

3) 크래머 공식을 이용한 연립선형방정식 계산

• 크래머 공식
  $\textbf{A}x \,=\, b$에서 $\textbf{A}$가 가역행렬이면, $x$는 아래와 같이 구할 수 있다.
  ($\textbf{M}_i$ 는 $\textbf{A}_i$열을 $b$로 바꾼 행렬이다.)
  $x_i \,=\, \frac{|\textbf{M}_i|}{|\textbf{A}|}$
• 풀이 예시
  $\textbf{A}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \,,\, b= \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \\\,\\ \textbf{M}_1= \begin{bmatrix} \textbf{5} & 2 & 1 \\ \textbf{6} & 2 & 1 \\ \textbf{9} & 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \;,\; \textbf{M}_2= \begin{bmatrix} 1 & \textbf{5} & 1 \\ 2 & \textbf{6} & 1 \\ 1 & \textbf{9} & 3 \\ \end{bmatrix} \;,\; \textbf{M}_3= \begin{bmatrix} 1 & 2 & \textbf{5} \\ 2 & 2 & \textbf{6} \\ 1 & 2 & \textbf{9} \\ \end{bmatrix} \\\,\\ x_1=\frac{|\textbf{M}_1|}{|\textbf{A}|} \quad,\quad x_2=\frac{|\textbf{M}_2|}{|\textbf{A}|} \quad,\quad x_3=\frac{|\textbf{M}_3|}{|\textbf{A}|}$

※ 연립선형방정식의 풀이법
① 가우스-조단 소거법
② LU 분해를 이용한 방법
③ 역행렬을 이용한 방법
④ 크래머 공식