[ TIL / 통계 기초부터 다지기] 표본 평균의 분산은 왜 모분산/n인가?

💡 표본 평균의 분산

표본 평균의 분산을 구하기 위해서는 표본에서 평균을 뺀 것의 제곱에 대한 기대값을 구해야 한다. 여기서 표본 평균은 추출한 표본들로 $x_i$들에 대한 평균으로 변환시킬 수 있다.

그후, 이들을 전개하면 아래와 같다.

이때 각 표본의 추출은 복원추출이며, 독립사건이기에 기대값을 모든 것에 나누어줄 수 있다.

여기서 크기가 1인 표본은 그 자체가 표본이자 표본평균이 된다. 그리고 크기가 1인 표본의 분산은 $\sigma^2$이다.

크기가 1인 표본평균의 평균과 분산이 모집단과 동일한 이유

• https://velog.io/@xuio/TIL-%ED%86%B5%EA%B3%84-%EA%B8%B0%EC%B4%88%EB%B6%80%ED%84%B0-%EB%8B%A4%EC%A7%80%EA%B8%B0-%ED%81%AC%EA%B8%B0%EA%B0%80-1%EC%9D%B8-%ED%91%9C%EB%B3%B8%ED%8F%89%EA%B7%A0%EC%9D%98-%ED%8F%89%EA%B7%A0%EA%B3%BC-%EB%B6%84%EC%82%B0

이들이 n개 있으므로 $n\sigma^2$이 되고 이를 앞에 있는 $\frac1{n^2}$와 곱하게 되면 $V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$이 된다.

참고 : https://www.youtube.com/watch?v=WfiRjHATlrg&list=PLmljWRabIwWBxh8V6eIODIz--B802mdLt&index=5