1.5절 일차종속과 일차독립

1.5 Linear dependence and linear independence

일차 종속(Linearly dependent)

$a_1\mathbf{u_1}+a_2\mathbf{u_2}+\dotsb+a_n\mathbf{u_n} = \mathbf{0}$이고 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, \dotsb , a_n\ne0$일 때 집합 $S$는 일차 종속이라 한다.

증명은 아래와 같다.

linearly dependent는 nontrivial representation 0이라고도 하고 이는 0이 아닌게 반드시 존재한다는 의미이다.

일차 독립(Linearly independent)

집합 $S$가 일차 종속이 아니라면 일차독립이다.
즉, $a_1\mathbf{u_1}+a_2\mathbf{u_2}+...+a_n\mathbf{u_n} = \mathbf{0}$를 만족하는 $a_i$가 0인 유일 해가 존재 즉, $a_1=a_2=\dotsb=a_n=0$일 때 집합 S는 일차 독립이다.

✨ 일차 독립에 대한 참인 명제
1. $\emptyset$ 은 일차 독립이다.
2. $u\ne0$일 때, 하나의 원소 집합인 {$u$}는 일차 독립이다.

또한, 일차 종속과 일차 독립의 정의를 바탕으로 얻을 수 있는 정리로 매우 중요하다.

✅ Thm 1.6
V가 벡터 공간이고 $S_1 \subset S_2 \subset \mathbf{V}$이다. 즉, $S_1$이 일차 종속이라면 $S_2$도 일차 종속이다.

증명은 다음과 같다.

즉, $S$의 어떤 진부분집합도 $S$와 같은 공간을 생성하지 못한다면 $S$는 일차 독립이다.

✅ Thm 1.7
V가 벡터 공간이고 $S_1 \subset S_2 \subset \mathbf{V}$이다. 즉, $S_1$이 일차 종속이라면 $S_2$도 일차 종속이다.

증명은 다음과 같다.

$\mathbf{v} \in \mathbf{V}, \mathbf{v} \notin S$일 때, $S \cup$$S \subset$$\mathbf{v}$}은 linearly dependent이고 $\mathbf{v} \in span(S)$와 동차조건이다.