1.3절 부분공간

1.3 Subspaces

부분공간(subspace)

$F$-벡터공간 $\mathbf{V}$의 부분집합 $\mathbf{W}$가 있다고 하자. 이 부분집합 $\mathbf{W}$가 $\mathbf{V}$에서 정의한 합과 스칼라 곱을 가진 $F$-벡터공간일 때 $\mathbf{V}$의 부분공간이라 한다.

모든 벡터공간 $V$에 대해 $V$와 {${0}$}은 부분공간이다. 특히 {${0}$}은 점공간인 부분공간이라 한다.

예시 문제)

전치행렬(transpose matrix)

$A^t$는 $A$의 행과 열을 바꾸어 얻은 $n \times m$행렬이다. 즉, $(A^t)_{ij} = A_{ij}$이다.

대칭행렬(symmetric matrix)

$A^t = A$인 행렬이다. 대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다.

상삼각행렬, 위삼각행렬

행렬 $A$는 대각성분 아래의 모든 성분이 0이다. 즉, $i > j$일 때 $A_{ij}=0$인 행렬이다.

대각행렬

대각성분을 제외한 모든 성분이 0인 정사각행렬이다. 다시 말해, $i \ne j$일 때, $M_{ij}=0$인 $n \times n$ 행렬 $M$이다.

✅ Thm 1.4
벡터공간 $V$의 부분공간들을 생각할 때, 이 부분공간들의 임의의 교집합은 $V$의 부분공간이다.

증명 과정은 다음과 같다.