[그래픽스] 오일러 변환 & Quaternion

YEOM JINSEOP·2023년 11월 23일

Computer Graphics

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세 개의 주축 중심 회전을 결합한 것.
주축은 world space에서 택할 수도 있고, object space에서 택할 수도 있다.
물체가 움직이면 그 space도 같이 움직인다.
물체의 방향은 회전이 결정한다.
물체의 방향을 정의하는데 있어 오일러 각(Euler angle)은 매우 직관적인 수단이다.
오일러 변환은 각도 3개로 표현된다.
세 축 중심의 회전각 $\theta_x, \theta_y, \theta_z$ 을 오일러 각(Euler angles)라고 부른다.
어떤 축을 먼저 회전하는 순서에 따라 결과가 달라진다.

animator는 rendering될 모든 frame에서의 동작을 정의하진 않는다.
key frame 사이의 in-between frame은 key frame의 key data들 간의 interpolation으로 생성한다.
key data의 예로는 물체의 위치, 방향, scaling factor 등을 들 수 있다.

key frame의 key data를 각각 $\{p_0, p_1\}$ 와 $\{p_1, p_2\}$ 라고 할 때,
(단, $p_i$ 는 사각형 중심의 좌표, $\theta_i$ : 회전각 = 방향)

다음과 같이 interpolation된다.

Euler angle이 가진 문제는, 올바르게 interpolation 된다는 보장이 없다.
따라서 interpolation이 주로 사용되는 keyframe animation에는 적합하지 않다.

quaternion $q$ 는 복소수를 확장한 것으로, 다음과 같이 네 개의 항으로 표현된다.
$(q_x, q_y, q_z, q_w) = q_xi + q_yj + q_zk +q_w$
허수부(imaginary part): $q_x, q_y, q_z$
실수부(real part): $q_w$
허수 단위(imaginary unit): $i, j, k$
$\\$
허수부는 종종 $q_v$ 로 줄여쓴다. 그래서 quaternion은 $(q_v, q_w)$ 로 표현하기도 한다.
허수 단위는 다음과 같은 특징을 지닌다.
$i^2 = j^2 = k^2 = -1$
$\\$
또한, 두 개의 서로 다른 허수단위가 곱해지면, 다음과 같은 순환치환(cyclic permutation)적인 특징을 가진다.
$ij = k, ji = -k jk = i, kj = -i ki = j, ik = -j$
일반 복소수처럼 qutennion도 켤레를 가진다.
q의 켤레 quternion은 다음과 같다.
$q^* = (-q_v, q_w)\\ \ \ \ \ \ = (-q_x, -q_y, -q_z, q_w) \\ \ \ \ \ = -q_xi - q_yj -q_zk + q_w$

quaternion의 크기(norm)
$||q|| = \sqrt{q_x^2+q_y^2+q_z^2+q_w^2}$
만약, 크기가 1이라면 $q$ 는 단위 quaternion(unit quternion)이라 불린다.

2차원에서 $(x,y)$ 좌표를 가진 벡터를 반시계방향으로 $\theta$ 만큼 회전하는 것은 다음과 같이 행렬-벡터 곱셈으로 표현되었다.
이제 $x$ 를 실수부로, $y$ 를 허수부로 가지는 복소수 $x + yi$ 를 $p$ 라 표기하자.
한편, 회전각 $\theta$ 가 주여졌을 때, 이를 크기가 1인 극형식(polar form)의 복소수로 표현하면,
$q$ = $cos\theta + sin\theta i$ 가 된다.
위의 복소수를 이용해 2차원 회전을 표현하면, 다음과 같다.
$pq = (x+yi)(cos\theta + sin\theta i) \\ \ \ \ \ \ = (xcos\theta - ysin\theta) + (xsin\theta + ycos\theta)i$

3차원 벡터 $p$ 를 $u$ 중심으로 $\theta$ 만큼 회전시키는 경우,
회전할 벡터와 회전 변환 각각을 quaternion으로 표현하면, 다음과 같다.
$\\$
$p = (p_v, p_w) \\ \ \ \ \ = (p,0)$
(허수부 $p$ , 실수부 0)
$\\$
또한, 회전축 $u$ 와 회전각 $\theta$ 로 또 다른 quaternion $q$ 를 다음과 같이 정의한다.
이때 회전을 표현하는 quaternion의 크기는 1이 되어야 하므로, $u$ 를 단위벡터로 만든다.
그러면 크기가 1인 극형식(polar form)의 quaternion은 다음과 같다.
$\\$
$q = (q_v, q_w) \\ \ \ \ \ =(sin\frac{\theta}{2}u, cos\frac{\theta}{2})$
$\\$
$p$ 를 $u$ 중심으로 $\theta$ 만큼 회전하는 것은 다음과 같이 표현된다.
$\\$
$p' = qpq^* = (x',y',z', ⬜ )$
( $x', y', z'$ 은 허수부로, $p$ 가 회전된 벡터이다.)
회전된 벡터 $p'$ 을 또 다른 quaternion $r$ 을 사용해 회전시키는 경우를 생각해 보자.
$\\$
$rp'r^* = r(qpq^*)r^* \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (rq)p(q^*r^*) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(rq)p(rq)^*$
$\\$
이는 $rq$ 가 두 회전이 결합된 quaternion임을 보여준다.

' $u$ 를 중심으로 $\theta$ 만큼 회전하는 것'은
' $-u$ 를 중심으로 $-\theta$ 만큼 회전하는 것'과 같다.
아래 그림을 보자.

두 quaternion $q$ 와 $r$ 을 생각해보자. 이들은 [0,1] 범위에서 정규화된 parameter $t$ 를 사용해 보간된다.
다음은 구체 선형 보간 식이다. (spherical linear interpolation)
여기에서 $q$ 와 $r$ 사이의 각도인 $\phi$ 는 다음과 같이 계산된다.