변환(Transform)

• Scaling과 Rotation은 선형변환(Linear Transform) 범주에 속한다.
• 이외의 변환으로 이동(Translation)이 존재한다.

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1. 축소,확대 (Scaling )

2D Scaling

• 2차원 축소확대는 다음과 같은 2 $\times$ 2 행렬로 표현된다. ($s_x, s_y$는 scaling factor)
  $\\$
  $S = \begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{pmatrix}$

• 2차원 벡터 $(x, y)$는 행렬-벡터 곱셈을 통해 scaling 된다.
  $\\$
  $S = \begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_xx \\ s_yy \end{pmatrix}$

• 동차 좌표(homogeneous coordinate)를 다루기 위해서는 2 $\times$ 2 행렬 형태를 3 $\times$ 3 행렬 형태로 변경한다.
  $\\$
  $S = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3D Scaling

• 3차원 축소확대는 다음과 같은 3 $\times$ 3 행렬로 표현된다. ($s_x, s_y, s_z$는 scaling factor)
  $\\$
  $S = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & s_z \\ \end{pmatrix}$

• 3차원 벡터 $(x, y)$는 행렬-벡터 곱셈을 통해 scaling 된다.
  $\\$
  $S = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0\\ 0 & 0 & s_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_xx \\ s_yy \\ s_zz \end{pmatrix}$

• 동차 좌표(homogeneous coordinate)를 다루기 위해서는 3 $\times$ 3 행렬 형태를 4 $\times$ 4 행렬 형태로 변경한다.
  $\\$
  $S = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

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2. 회전(rotation)

2D rotation

• $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

• 2D rotation $R(\theta)$의 유도 과정은 아래와 같다.
  

• 동차 좌표(homogeneous coordinate)를 다루기 위해서는 2 $\times$ 2 행렬 형태를 3 $\times$ 3 행렬 형태로 변경한다.
  $\\$
  $S = \begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3D rotation

• 2D rotation에서는 회전 중심(center of rotation)을 필요로 하는데 반해,
  3D rotation은 회전축(axis of rotation)을 필요로 한다.

• $R_z(\theta):$ $z$ 축을 중심으로 $\theta$ 만큼 회전 ➡️ $x, y$ 좌표가 바뀜.
  $\\$
  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
  

• $R_x(\theta):$ $x$ 축을 중심으로 $\theta$ 만큼 회전 ➡️ $y, z$ 좌표가 바뀜.
  $\\$
  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
  

• $R_y(\theta):$ $y$ 축을 중심으로 $\theta$ 만큼 회전 ➡️ $x, z$ 좌표가 바뀜.$\\$
  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
  

• 동차 좌표(homogeneous coordinate)를 다루기 위해서는 3 $\times$ 3 행렬 형태를 4 $\times$ 4 행렬 형태로 변경한다.
  $\\$
  $R_z(\theta) = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}$
  $\\$
  $R_x(\theta)= \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}$
  $\\$
  $R_y(\theta)=\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}$

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3. 이동 (Translation)

2D Translation

• 이동은 선형 변환(linear transform)의 범주에 속하지 않으며, 다음처럼 벡터 덧셈으로 구현된다.
  행렬 곱셈으로 구현되는 sacling과 translation과는 다르다.
  $\\$
  $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} d_x \\ d_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + d_x \\ y + d_y \end{pmatrix}$

• 하지만, 동차 좌표(homogeneous coordinates)를 사용하면, translation 역시 행렬 곱셈으로 구현될 수 있다.
  한 점의 2차원 카테시안 좌표 $(x, y)$가 주어질 때 이에 대한 동차 좌표는 간단히 $(x, y, 1)$로 표현될 수 있다.
  이때 이동 행렬은 다음과 같다.
  $\\$
  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & d_x \\ 0 & 1 & d_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x + d_x \\ y + d_y \\ 1 \end{pmatrix}$

3D Translation

• 동차 좌표(homogeneous coordinates)를 이용한 3차원 이동
  $\\$
  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & d_x \\ 0 & 1 & 0 & d_y \\ 0 & 0 & 1 & d_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x+d_x\\y+d_y\\z+d_z\\1 \end{pmatrix}$

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4. 변환의 결합

• 행렬 곱셈서는 교환 법칙이 성립하지 않는다. 따라서 변환을 적용하는 순서에 따라 결과가 달라진다.
• 먼저 실행되는 변환이 오른쪽에 위치한다.
  

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5. 역변환

• $T$의 역변환을 $T^{-1}$ 이라고 표기하고, 실제로 $T$의 역행렬이다.

• 이동(Translation)의 역변환
  $\\$
  $T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & d_x \\ 0 & 1 & 0 & d_y \\ 0 & 0 & 1 & d_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \ T^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -d_x \\ 0 & 1 & 0 & -d_y \\ 0 & 0 & 1 & -d_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

• Scaling의 역변환
  $\\$
  $S = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, S^{-1}= \begin{pmatrix} 1/s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1/s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

• Rotation의 역변환
  $\\$
  $R = \begin{pmatrix} u_x & v_x & n_x \\ u_y & v_y & n_y \\ u_z & v_z & n_z \end{pmatrix} ,R^T= \begin{pmatrix} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ n_x & n_y & n_z \end{pmatrix}$
  $\\$
  [식 유도하기 ]
  object space의 기저 $\{u, v, n\}$이 직교 적교 성질을 가지므로,
  하나의 기저 벡터가 자신과 내적되었을 때 그 결과는 1이다. ➡️ $u \cdot u =v \cdot v=n \cdot n=1$
  반면, 서로 다른 기저 벡터간 내적은 0이다. ➡️ $u \cdot v =v \cdot n=n \cdot u=0$
  이를 이용해서, rotation 행렬 $R$과 그 전치행렬 $R^{T}$의 곱을 정리하면 다음과 같다.
  $\\$
  $R^TR = \begin{pmatrix} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ n_x & n_y & n_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x & v_x & n_x \\ u_y & v_y & n_y \\ u_z & v_z & n_z \end{pmatrix}$